РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ ТЕРМОВ’ЯЗКОПРУЖНОСТІ
ПРИ ПОЛІГАРМОНІЧНОМУ ДЕФОРМУВАННІ,
ВИКЛИКАНОМУ РУХОМ ПЕРІОДИЧНОЇ
СИСТЕМИ НАВАНТАЖЕНЬ ПО ПОВЕРХНЯХ
В’ЯЗКОПРУЖНИХ ТІЛ
2.1. Постановка задачі про полігармонічне деформування
і дисипативний розігрів в’язкопружних тіл
Нехай масові Fi (i=1, 2, 3) і поверхневі (i=1, 2, 3) сили, а також задані на
поверхні зміщення (i=1, 2, 3) змінюються з часом по полігармонічному закону:
, (2.1)
, (2.2)
. (2.3)
Рівняння стану лінійного в’язкопружного тіла для загального типу анізотропії
мають вигляд [64]:
ssij = Eijklekl – . (2.4)
При дії на тіло кінематичного чи силового збудження, яке змінюється з часом по
закону (2.1) – (2.3), у в’язкопружних тілах через короткий час встановиться
полігармонічний режим:
,.
При цьому для кожної гармоніки рівняння стану (2.4) після підстановки в них
(2.5) дають комплексні амплітудні рівняння стану [64]
,
де , , . (2.6)
Тут ( )ўў і ( )ўўўў означають дійсну да уявну частини відповідної величини.
Дійсна і уявна частини комплексних модулів (2.6) залежать від частоти і
температури: Eўўklrs = Eўўklrs (nw,Т), Eўўўўklrs = Eўўўўklrs (nw,Т).
Залежність від температури може бути врахована на основі моделі термореологічно
простої поведінки в’язкопружного матеріалу, коли для моногармонічного
деформування Eўўklrs = Eўўklrs (), Eўўўўklrs = Eўўўўklrs (), а
= а(Т)w. (2.7)
В (2.7) а(Т) – коефіцієнт частоти зсуву, який визначається експериментально
[35].
Для кожної з гармонік nw рівняння руху матиме вигляд [64]
(k=1, 2, 3). (2.8)
Кінематичні та силові граничні умови запишуться так [64]:
Дисипативна функція для кожної з гармонік має вигляд [35]
, (2.9)
Сумарна дисипативна функція:
(2.10)
Усереднене за цикл рівняння енергії матиме вигляд [35]
, (2.11)
де с, - коефіцієнти теплоємкості і теплопровідності.
Теплові початкові і граничні умови для температури Т запишуться таким чином
[49]:
(t=0) , на S.
Тут a - коефіцієнт теплообміну з зовнішнім середовищем, а Тс - температура
зовнішнього середовища.
Кінематичні співвідношення для малих деформацій мають стандартний вигляд [64]:
. (2.12)
Підставляючи (2.12) в рівняння стану (2.6), а одержані результати - в рівняння
руху (2.8), а також підставляючи (2.9), (2.10) в рівняння енергії (2.11),
одержимо нелінійну систему диференціальних рівнянь відносно компонент вектора
зміщень і температури Т. Нелінійність цієї системи обумовлена залежністю
властивостей матеріалу від температури та нелінійною залежністю дисипативної
функції (2.9) від температури і деформацій.
У випадку, коли властивості матеріалу не залежать від температури, задача
розпадається на дві окремі лінійні задачі - спочатку для кожної гармоніки
потрібно розвўязати комплексну систему рівнянь відносно , потім за формулами
(2.9), (2.10) розрахувати дисипативну функцію, яка є джерелом тепла в рівнянні
теплопровідності (2.11). На останньому етапі розвўязується задача
теплопровідності з відомим джерелом тепла.
Якщо відкинути сили інерції, задача стає квазістатичною. При цьому в багатьох
випадках [35] навіть при залежності властивостей матеріалу від температури
можна використати такий підхід, коли спочатку розвўязують квазістатичну пружну
задачу без врахування залежності дійсних частин комплексних модулів від
температури, а при розрахунку температури дисипативного розігріву уявні частини
комплексних модулів вважаються залежними від температури. При цьому необхідно
розвўязувати нелінійну задачу теплопровідності. Така наближена постановка
задачі дає практично точні результати при умові, що , де не залежить від
температури.
Саме така постановка задачі буде використана в подальшому при дослідженні
теплової нестійкості циліндра при його коченні по абсолютно жорсткій поверхні.
2.2. Полігармонічне деформування тіл,
викликане періодичною системою поверхневих навантажень,
яка рухається з постійною швидкістю
Нехай уздовж якої-небудь координатної лінії (наприклад, уздовж координатної
лінії, що відповідає координаті х) з постійною швидкістю V рухається періодична
система навантажень (рис.2.1).
Тоді в рухомій системі координат (xў,y,z) це навантаження можна представити у
вигляді: P(x,y,z,t)=P(xў,y,z), де
xў =x-Vt. (2.13)
Нехай ця система має просторовий період L , тобто
.
Тоді ряд Фурўє по координаті хў матиме вигляд
. (2.14)
Тут коефіцієнти Р0 , (nОN) розраховуються за відомими формулами з теорії рядів
Фур’є [67], при цьому вони є функціями координат y та z. Підставляючи (2.13) в
(2.14), матимемо
= . (2.15)
де
.
Як бачимо з формули (2.15), періодична система навантажень, що рухається з
постійною швидкістю V, приводить до полігармонічного режиму навантаження з
частотою w = 2pV/L, яка залежить від швидкості руху V навантаження та від його
просторового періоду L.
Необхідно відмітити, що полігармонічне навантаження може бути викликане не
тільки періодичною системою навантажень, але й рухомим навантаженням по деякій
замкнутій траєкторії.
Така ситуація виникає, наприклад, в контактних задачах, коли в’язкопружне тіло
циліндричної форми котиться з постійною швидкістю по абсолютно жорсткій
поверхні. Тоді контактне навантаження, яке розраховується з розв’язку
відповідної контактної задачі, викликає в тілі полігармонічне деформування, для
якого частота n–тої гармоніки wn залежить від швидкості кочення V та від
радіусу циліндра R таким чином:.
Відмітимо, що для дослідження термомеханічного стану такого циліндра необхідно
знаходити напружено-деформований стан в усьому обўємі циліндра. В класичних же
задачах