РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РЕЖУЩЕЙ ПЛАСТИНЫ И ХАРАКТЕРИСТИК
КОЛЕБАНИЙ РЕЗЦОВ ДЛЯ ПОПЕРЕЧНОГО ТОЧЕНИЯ
2.1. Теоретические исследования напряженно-деформированного состояния режущей
пластины отрезного резца
Для определения параметров напряженно-деформированного состояния режущей
пластины отрезных и прорезных резцов для тяжелых станков предложена методика
расчета, которая учитывает специфику и особенности работы инструмента. При этом
используется метод конечных элементов (МКЭ) [14, 48, 77], в рамках которого
получаемое решение строго сходится к точному решению.
Численное решение трехмерной задачи теории упругости с применением метода
конечных элементов выполняется поэтапно, решением следующих задач:
– построение функционала полной потенциальной энергии рассматриваемой системы;
– выбор формы конечных элементов (КЭ) и дискретизация исследуемой системы,
определение вида координатных функций;
– построение матриц жесткости и приведение местной нагрузки к узловой для
каждого рассматриваемого конечного элемента;
– построение матрицы жесткости всей конструкции, составление и решение системы
канонических уравнений;
– определение компонентов напряженно-деформированного состояния по области
каждого конечного элемента, на которые была произведена дискретизация
рассматриваемой системы.
Метод конечных элементов является вариационным методом, завершающим этапом
которого является построение системы уравнений, которая минимизирует потенциал
полной потенциальной энергии исследуемого объекта.
При определении трехмерного напряженно-деформированного состояния объемных
конструкций с применением МКЭ используем зависимости теории упругости для
трехмерного напряженного состояния тела. Эти зависимости наиболее общие, так
как свободны от различных гипотез и предпосылок, характерных для некоторых
частных задач (гипотеза плоских сечений для стержней; гипотеза прямых нормалей
для изгибаемых пластин; гипотеза нулевых напряжений, ортогональных к плоскости
системы для плоского напряженного состояния).
Потенциал полной энергии для трехмерного напряженного состояния представляет
собой выражение
(2.1)
где sx, sy, sz, txy, tyz, txz - нормальные и касательные напряжения,
возникающие при действии внешних сил;
ex, ey, ez, gxy, gyz, gxz - соответствующие напряжениям относительные и
сдвиговые деформации;
px, py, pz - внешняя нагрузка по направлению соответствующих осей координат X,
Y, Z.
Все зависимости и выражения представляем в матричной форме записи. Введем
следующие обозначения:
; ;
; ; (2.2)
где u – вектор перемещений;
p – вектор внешних усилий;
s – вектор нормальных и касательных напряжений;
e – вектор деформаций.
В этом случае основные соотношения теории упругости для определения напряжений
и деформаций, возникающих при трехмерном напряженно-деформированном состоянии,
принимают вид
, , (2.3)
где D- матрица упругости изотропного тела;
L- матрица дифференцирования, связывающая деформации рассматриваемого объекта с
перемещениями.
Матрица упругости изотропного тела имеет порядок 6ґ6 элементов и имеет
следующий вид
, (2.4)
где ; - коэффициенты Ламе.
Элементами матрицы дифференцирования L являются дифференциальные операторы. Она
имеет порядок 6ґ3 элементов:
Функционал полной энергии для трехмерного тела с учетом принятых обозначений и
выражений (2.2), (2.3) запишется в виде компактного выражения
. (2.5)
Первое слагаемое представляет собой работу внутренних сил U, равную
потенциальной энергии деформации, второе - это работа внешних сил W.
Решение задачи определения напряженно-деформированного состояния объемного тела
при помощи МКЭ основано на вариационном принципе Лагранжа, согласно которому из
всех перемещений, допускаемых наложенными на тело связями, в действительности
имеют место такие, при которых полная энергия системы V минимальна.
В случае трехмерного напряженного состояния область W, занимаемая телом,
дискретизируется на конечные элементы, которые имеют определенную форму и
количество узловых точек. Для определения напряжений перемещения узловых точек
аппроксимируем полиномиальными функциями, а потенциал полной энергии (2.5)
подвергаем минимизации.
Для аппроксимации узловых перемещений конечного элемента используются полиномы
вида:
,
, (2.6)
.
Здесь , и есть некоторые постоянные, подлежащие определению, остальные же
величины представляют собой выбранные заранее подходящие функции координат. При
этом функции , , должны принимать заданные значения на части Wu поверхности
тела W; все остальные функции должны на Wu обращаться в нуль. Тогда при любых
значениях будут удовлетворяться геометрические граничные условия. Постоянные а
подбирают таким образом, чтобы при выбранных функциях (2.6) полная энергия
системы V была минимальна.
Условие экстремальности потенциала полной энергии приводит к получению системы
алгебраических уравнений вида:
Ku = P,
где K – матрица жесткости системы, определяемая в зависимости от вида конечных
элементов и их матриц жесткости;
u – искомый вектор перемещений;
P – вектор действующей нагрузки.
Таким образом, для определения поля перемещений необходимо выбрать вид конечных
элементов, произвести дискретизацию исследуемой области, вычислить матрицы
жесткости конечных элементов, составить и решить систему уравнений относительно
перемещений, а также вычислить компоненты напряженно-деформированного
состояния, согласно выражениям (2.3).
В данной работе для определения напряженно-деформированного состояния режущей
части инструмента применяются конечные элементы двух типов:
– восьмиузловые пространственные элементы в форме произвольного
параллелепипеда
- Київ+380960830922