Глава 2.
Объемное моделирование термопрочности твердосплавного режущего инструмента.
2.1. Постановка задачи
В строгой математической постановке уравнения, описывающие поведение твёрдого
тела под действием силовых и температурных нагрузок, взаимосвязаны и должны
решаться совместно.
Однако задачи термоупругости в квазистатической постановке, когда не
учитываются инерционные члены в уравнениях движения и связывающий член в
уравнении теплопроводности, имеют наибольшее практическое значение. При обычных
условиях теплообмена динамические эффекты, обусловленные нестационарным
нагревом, и тепловые потоки, образующиеся вследствие упругого деформирования,
невелики, поэтому соответствующие им члены в уравнениях могут быть отброшены, и
система уравнений распадается на уравнение нестационарной теплопроводности и
уравнения, описывающие упругое поведение тела при заданном температурном поле
[132].
Предположим, что тело объёмом V заполняет в пространстве область D,
ограниченную поверхностью S.
Упругое состояние твёрдого тела под действием неравномерного нагрева, при
известном температурном поле в каждый момент времени, и внешних усилий
определяется полями напряжений sij и деформаций eij или их скоростями и . При
этом предполагается, что процесс деформирования медленный (квазистатический), а
деформации малы. Полная система уравнений несвязанной квазистатической задачи
термоупругости включает в себя:
уравнение нелинейной нестационарной теплопроводности:
div(lgradT) - Cv + Q = 0, (2.1)
уравнения равновесия
+ Fi = 0, (2.2)
соотношение Коши
eij = ( + ), (2.3)
соотношение закона Гука
sij = 2meij + [lekk – (3l + 2m)aT] i,j,k = 1,2,3, (2.4)
К системе уравнений 2.1 – 2.4, описывающих тепловое и напряжённо-
деформированное состояние тела в объёме V , добавляются условия на
ограничивающей его поверхности S.
Тепловые граничные условия для любого момента времени определяются заданием:
температуры на (граничные условия I рода)
T(x,y,z,t) = TH(x,y,z,t), (x,y,z) О , (2.5)
теплового потока q на (граничные условия II рода)
= q (x,y,z,t), (x,y,z) О , (2.6)
конвективного теплообмена на (граничные условия III рода)
l = h(T(x,y,z,t) – Tc), (x,y,z) О , (2.7)
Tc – температура внешней среды;
условий сопряжения на поверхности контакта двух сред (граничные условия IV
рода)
T1п(x,y,z,t) = T2п(x,y,z,t) (2.8)
-l1|= -l2| (x,y,z) О, (2.9)
Если поверхность контакта не является идеальным проводником, учитывается
термическое сопротивление R контакта, которое определяется и видом покрытий
-l1|= (T1 – T2), (2.10)
Если на поверхности контакта выделяется теплота внутренних (фазовых,
структурных и др.) превращений, граничное условие IV рода имеет вид
-l1|= -l2|+ q, (2.11)
где q – тепловой поток, вызванный внутренними превращениями. Тепловые начальные
условия состоят в задании в объёме V в начальный момент времени t = t0
распределения температуры
T(x,y,z,t)= T(x,y,z), (x,y,z) О V (2.12)
Механические граничные условия для любого момента времени определяются
заданием:
перемещений на S (кинематические условия)
U(x,y,z,t) = U(x,y,z,t), (x,y,z) О S1, (2.13)
усилий на S (статические условия)
sijnj = pi(x,y,z,t), (x,y,z) О S2 , (2.14)
Отметим, что S = Sт U Sм, где
Sт = U U U , Sм = S1 U S2 (2.15)
На первом этапе решения задачи термоупругости определяется температурное поле в
зоне резания, на втором – термоупругое напряжённо- деформированное состояние
режущей части инструмента. На втором этапе исследуемая область ограничивается
режущей частью инструмента, так как только в ней напряжённо-деформируемое
состояние с достаточной точностью можно считать упругим. В остальной части зоны
резания (деталь и стружка) определяющими, безусловно, являются пластические
деформации, для более точного описания которых, в основном, будут
использоваться данные, полученные из эксперимента, знание которых необходимо
для определения температурных полей во всей зоне резания, включая режущую часть
инструмента.
2.2. Уравнения, описывающие процесс распространения тепла в зоне резания
В процессе теплообмена при резании металлов участвуют три тела – инструмент,
деталь, стружка, которые находятся в непрерывном движении относительно друг
друга. Наличие в исследуемой области движущихся тел требует выбора системы
отсчёта для установления соответствия между изучаемыми величинами и
координатами пространства.
В теории резания металлов традиционно выделяется некоторое геометрическое
пространство, называемое зоной резания, и исследуется состояние находящихся в
нём тел в любой момент времени t. Система отсчёта в этом случае называется
системой координат наблюдателя и соответствует точке зрения Эйлера на изучение
движения сплошной среды. В переменных Эйлера уравнение теплопроводности [130]
принимает вид
Cr ( +VgradT) = div(lgradT) + Q, (2.16)
где V = (Vx ,Vy ,Vz) – вектор скорости движения среды.
С точки зрения Лагранжа, мы интересуемся законом изменения температуры и других
величин для данной индивидуальной точки сплошной среды. В этом случае система
координат “вморожена” в среду и деформируется вместе с ней. В переменных
Лагранжа, учитывая неизменность координ