РАЗДЕЛ 2
Обобщенные функции в задаче изгибА пластин
с широкими РЕБРАМИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
2.1. Постановка задачи
Пусть пластина с широкими ребрами свободно оперта по контуру и лежит на упругом
основании (рис. 2.1). Ребра пластины параллельны оси у и симметричны
относительно срединной плоскости пластины, основание предполагается
винклеровского типа с коэффициентом постели k(x). Размеры пластины:
а – вдоль оси х; b – вдоль оси у.
На пластину действует произвольная распределенная нагрузка интенсивностью q(x,
y).
Рис. 2.1. Пластина с широкими ребрами на упругом основании
Ранее [27–29] профессором Конашенко С.И. уже рассматривались прямоугольные
пластины с широкими ребрами без упругого основания.
Цилиндрическая жесткость пластины является кусочно-постоянной и изменяется в
зависимости только от координаты х. Она берется в виде:
(2.1)
где – цилиндрическая жесткость в самой пластине, независящая от координаты х,
– заданная функция х, являющаяся кусочно-постоянной,
Е – модуль Юнга,
– коэффициент Пуассона,
– толщина пластины,
– параметр, характеризующий скачок цилиндрической жесткости пластины при х=ai
(i=1, 2, … , n), и учитывающий увеличение или уменьшение жесткости при переходе
через границу ребра,
– единичная запаздывающая функция Хевисайда (ребра при этом могут быть разными
и расположенными на любых расстояниях одно от другого).
В параметре скачка цилиндрической жесткости заложено расположение ребер
относительно срединной плоскости пластины. Ниже будет подробно описан алгоритм
его определения для несимметричного расположения ребер относительно срединной
плоскости пластины, и получено приближенное решение для подобных задач.
Жесткость основания k(x) примем в виде, аналогичном цилиндрической жесткости
пластины [30]
(2.2)
Здесь – базисная величина коэффициента постели для пластины (без ребер),
– кусочно-постоянная функция, зависящая от х, аналогичная функции ,
– параметр, который подобно предыдущему параметру характеризует скачок
жесткости основания при х=аi (i=1, 2, … , n).
Для частного случая распределения жесткости основания = [30 – 32], т.е.
(2.3)
В этом случае разрешающее уравнение можно преобразовать в уравнение с
постоянными коэффициентами и сингулярной правой частью. Однако в реальных
условиях это жесткое требование вряд ли будет выполнено, поэтому необходима
компенсация искаженного (обычно завышенного) коэффициента жесткости.
Итак, в общем случае ? и необходим специальный подход.
2.2. Построение дискретно-континуальной модели
Дифференциальное уравнение изгиба пластины переменной толщины, лежащей на
упругом основании с коэффициентом постели k(x), и с жесткостью пластины,
зависящей только от координаты х (рис. 2.1), имеет вид [16]
(2.4)
где – перемещение вдоль оси z (прогиб).
Дифференциальное уравнение (2.4) было получено из уравнения равновесия элемента
пластины с учетом упругого основания [16, 17]
, (2.5)
где p = kW – интенсивность реакции упругого основания,
Mx, My, Mxy – соответственно изгибающие и крутящий моменты.
Для прямоугольной пластины без ребер уравнения для нахождения этих моментов
имеют вид:
; (2.6)
Если учесть, что цилиндрическая жесткость пластины с широкими ребрами D и
жесткость основания k являются уже не постоянными величинами, а функциями
координаты х, то, подставив выражения (2.6) в дифференциальное уравнение (2.5),
получим искомое уравнение (2.4).
При синусоидальной нагрузке
(m=1, 2, …), (2.7)
где b – размер пластины вдоль ребра, и свободном опирании кромок, параллельных
оси х, прогиб ищется по методу Леви [16, 17, 21] как
(2.8)
Воспользовавшись указанными выражениями q(x, y) и W(x, y), получим:
Подставив в полученное уравнение вместо D(х) D0Ф(х) и упростив его, получим
следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для Wm(x):
(2.9)
В уравнении (2.9) в отличие от пластин постоянной толщины [33, 34] содержится
слагаемое с коэффициентом Пуассона - .
Также в отличие от пластины, не лежащей на упругом основании, но имеющей
широкие ребра [18], содержится новое слагаемое – .
Для дальнейшего решения упростим уравнение (2.9) и представим его в виде
(2.10)
Теперь введем вспомогательную функцию
U(x) = D(x)Wm(x), (2.11)
которая будет иметь разрывы непрерывности I рода в точках х = ai (i = 1, 2,...,
n), поскольку Ф(х) есть ступенчатая функция [27, 35].
Прогиб Wm = U(x)/D(x) должен быть непрерывной и гладкой функцией х. Поэтому
скачки функций U(x) и D(x) в точках х = ai (i = 1, 2,..., n) должны
компенсировать друг друга.
Так как
U = D0Ф(х)Wm,
то = D0Ф(х)+ D0Wm.
Поскольку
Ф(х) = 1 + s0(x - ai),
где s0(x - ai) = H(x - ai) – функция Хевисайда,
то = s1(x - ai),
где s1(x - ai) = d(x - ai) – функция Дирака (импульсивная функция 1-го
порядка).
Но Wm = Wm(х)s1(x - ai).
В силу непрерывности Wm(x)
Wm(х)s1(x - ai) = Wm(ai)s1(x - ai) – [6].
Тогда
= D(х)+ D0Wm(ai)s1(x - ai),
откуда
. (2.12)
Далее
= D(х)+ D0+ D0Wm(ai)s2(x - ai),
где s2(x - ai) = (x - ai) – импульсивная функция 2-го порядка.
Поскольку есть тоже непрерывная функция х, то
= (ai)s1(x - ai).
Получим
. (2.13)
Воспользовавшись далее соотношениями:
= s2(x - ai),
Wm(x)s2(x - ai) = Wm(ai)s2(x - ai) - (ai)s1(x - ai),
получим выражение для четвертого слагаемого в уравнении (2.10)
. (2.14)
Подставив (2.12), (2.13) и (2.14) в (2.10), получим
(2.15)
Продифференцировав уравнение (2.15), и перенеся все слагаемые, содержащие
сингулярные функции, в правую часть, получим
(2.16)
где ;
s3(x - ai) и s4(x - ai) – импульсивные функции соответственно 3-го и 4-го
порядка, или вторая и третья производные функции Дирака.
Поскольку в уравнении (2.1
- Київ+380960830922