РАЗДЕЛ 2
Динамика краудиона в трехмерном неоднородно деформированном кристалле
2.1. Формулировка изучаемой модели. Динамические переменные и функция Лагранжа
Рассмотрим сложную многоатомную кристаллическую решетку, в которой можно
выделить плотноупакованный ряд одинаковых атомов (рис. 2.1). Пронумеруем
химически различные атомы индексом a и будем считать, для определенности, что
атомы выделенного ряда имеют номер a = 1. Пространственную ориентацию
выделенного атомного ряда и период трансляций внутри него зададим вектором b*,
а вектор трансляций кристалла в этом направлении обозначим b; в сложных
кристаллических структурах эти векторы могут отличаться по величине.
Равновесные положения атомов в идеальной кристаллической структуре зададим
набором векторов R и разделим его на совокупности векторов двух типов:
R = {r, R (a )}, где r и R (a ) – соответственно равновесные положения атомов
выделенного ряда и окружающей его кристаллической матрицы. Начало координат для
отсчета векторов r и R (a ) удобно выбрать на одном из атомов выделенного ряда,
имеющем максимальную энергию связи с решеткой.
Будем считать, что межатомное взаимодействие в кристалле описывается набором
короткодействующих парных потенциалов Uaaў (r – rў ) (r и rў – координаты двух
произвольных атомов) и каждый отдельный атом с координатой r может также
испытывать действие изменяющихся во времени внешних сил, которым соответствуют
потенциалы Ua(e)(r,t).
Отметим, что все основные результаты, полученные при анализе описанной выше
модели переносятся без существенных ограничений на случаи упорядоченных рядов
примесных атомов внутри кристалла или рядов адсорбированных ато-
Рис. 2.1. Фрагмент кристаллической структуры с плотноупакованным рядом атомов
(двухмерная схема): b* и b – соответственно элементарные векторы трансляций
внутри и вдоль выделенного ряда; r и R (a ) – соответственно равновесные
положения атомов выделенного ряда и окружающей его кристаллической матрицы; 0 –
начало координат.
мов на поверхности кристалла, а также на случай двухмерных кристаллов или
квазиодномерных структур типа двойных полимерных цепей. В случае молекулярных
структур следует, разумеется, в “качестве атомов” рассматривать молекулы или
относительно “жесткие” мономеры молекулярных цепей, внутренними степенями
свободы которых можно пренебречь.
Смещения атомов h(R,t) от равновесных положений в идеальном кристалле
представим в виде:
. (2.1)
Здесь:
dR,r – символ Кронекера;
u(R,t) – произвольные малые смещения, удовлетворяющие условию
| u(R,t) – u(Rў,t)| << |R–Rў |;
z – дополнительные безразмерные смещения, описывающие распространение вдоль
выделенного ряда атомов R=r краудионного возбуждения.
Существенно, что описываемые вторым слагаемым в (2.1) краудионные смещения в
любой момент времени направлены вдоль вектора
b*+ u(r,t) – u(r–b*,t), т. е. по касательной к мгновенной конфигурации оси
выделенного атомного ряда, изогнутой упругими смещениями u(R,t) по отношению к
ее конфигурации ОХ в идеальном кристалле (рис. 2.2). Зарождение и перемещение
краудиона сопровождается изменениями безразмерного смещения z на величину | z |
b 1.
Задаваемая соотношением (2.1) структура смещений, по нашему мнению, наилучшим
образом отражает физический смысл краудиона и обеспечивает корректное
разделение нелинейных краудионных возбуждений и линейных собственных или
вынужденных деформаций кристалла.
Обозначим массы атомов символом ma и будем вначале рассматривать в качестве
динамических переменных кристалла полные смещения h (R, t) и скорости .
Используя введенные выше потенциалы межатомного взаимодействия Uaaў (r – rў ) и
потенциалы внешних полей Ua(e)(r,t), а также учитывая особую роль выделенного
ряда атомов, запишем общее выражение для функции Лагранжа рассматриваемой
задачи в виде:
Рис. 2.2. Изгиб плотноупакованного ряда атомов в результате упругих деформаций
кристалла: л – равновесные положения атомов в недеформированном кристалле; ж –
мгновенные положения атомов в деформированном кристалле; b*+ u(r,t) – u(r–b*,t)
– вектор, задающий направление краудионного смещения на узле r.
–
– –
– –
– –
– . (2.2)
Удобство такой формы записи функции Лагранжа заключается в том, что в ней
разделены кинетическая и потенциальная энергии матрицы (первое, третье и шестое
слагаемые), выделенного атомного ряда (второе, четвертое и седьмое слагаемые) и
энергия взаимодействия атомного ряда с матрицей (пятое слагаемое). В выражении
(2.2) сравнительно просто произвести адекватные изучаемой задаче упрощения, без
которых невозможен дальнейший анализ.
2.2. Длинноволновое приближение для функции Лагранжа
Обсудим, прежде всего, главное приближение теории краудионов, без использования
которого вообще невозможно корректно ввести понятие краудионного возбуждения –
качественное предположение о большой величине энергии взаимодействия атомов
внутри выделенного ряда (четвертое слагаемое в (2.2)) по сравнению с энергией
взаимодействия этого ряда с кристаллической матрицей (пятое слагаемое в (2.2)).
В рамках нашей модели это предположение позволяет считать, что наряду с
малостью упругих деформаций кристалла достаточно малыми являются также и
краудионные деформации, т. е. одновременно выполняются два неравенства:
. (2.3)
Количественный критерий, уточняющий условия выполнения второго из неравенств
(2.3), будет записан ниже (см. (2.20)). Отметим также, что выполнение
неравенств (2.3) сопряжено с требованием малости и достаточно плавных
пространственно-временных зависимостей потенциалов внешних сил (последние два
слаг