РАЗДЕЛ 2
КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ
2.1. Основная система уравнений
Рассмотрим однородное цилиндрическое тело-матрицу с цилиндрическими полостями, образующие которых параллельны оси цилиндра. Пусть поверхности полостей не подкреплены или жестко подкреплены, а в остальные полости матрицы впаяны или вклеены без предварительного натяжения упругие многосвязные включения из другого анизотропного материала, содержащие полостей. Некоторые из рассматриваемых полостей могут переходить в плоские концентраторы напряжений типа трещин или жестких включений. Будем считать, что под действием внешних усилий тело находится в двумерном напряженном состоянии, не меняющемся в направлении его оси. Как тело, так и упругие включения могут быть из прямолинейно-анизотропного или изотропного материалов. В случае изотропных материалов матрицы и включений они будут находиться в условиях плоской и антиплоской деформаций.
Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы плоскость была перпендикулярна к образующим цилиндрических поверхностей. В поперечном сечении цилиндра-матрицы будем иметь многосвязную область , ограниченную внешним контуром , контурами криволинейных отверстий и разрезов (рис. 2.1), а в поперечном сечении -го упругого включения будем иметь многосвязную область , каждая из которых ограничена внешним контуром , совпадающим с отверстия матрицы и внутренними контурами . Как частный будем рассматривать случай, когда для тела отсутствует (бесконечное кусочно-однородное тело), а также случай, когда контуры отсутствуют (тело с полостями и упругими цилиндрическими включениями).
Решение задачи теории упругости для рассматриваемого кусочно-однородного тела сводится к интегрированию основной системы уравнений для тела-матрицы и для упругих включений при соответствующих граничных условий на поверхностях полостей, жестких и упругих включений.
Для случая анизотропного тела основная система уравнений состоит [86] из следующих уравнений равновесия, закона Гука и совместности Сен-Венана:
, , ; (2.1)
,
,
,
,
; (2.2)
, . (2.3)
При этом ; - коэффициенты деформации для материала тела. .
После решения основной системы уравнений становятся известными напряжения, деформации и перемещения в теле. По известным напряжениям и деформациям можно найти и плотность потенциальной энергии или упругий потенциал. Для этого можно, например, использовать его выражение через напряжения [86]
. (2.4)
Аналогичные соотношения имеют место для каждого включения. Так, для -го анизотропного включения соотношения (2.1) - (2.4) имеют такой же вид, в котором заменятся на , где под понимается любая из величин, входящих в (2.1) - (2.4). Здесь и далее все величины, относящиеся к -му включению (с областью поперечного сечения ), обозначены со значком вверху, а величины, относящиеся к матрице, - без такого значка.
В случае изотропных тела и включений формулы (2.2) и (2.4) несколько упростятся и будут иметь место плоская и антиплоская деформация тела и включений.
2.2. Комплексные потенциалы задачи для случая кусочно-однородного анизотропного тела
Рассмотрим вначале случай, когда тело-матрица и упругие включения являются анизотропными. Для исследований будем использовать аппарат теории функций комплексного переменного. Введением , по формулам [86]
; ; ; ; , (2.5)
точно удовлетворим уравнениям равновесия (2.1) и с учетом соотношений (2.2) из уравнений (2.3) получим систему дифференциальных уравнений
; . (2.6)
Здесь
;
;
. (2.7)
Решая систему уравнений (2.6), получаем [86]
; , (2.8)
где - аналитические функции комплексных переменных
; (2.9)
- корни характеристического уравнения 6-го порядка
, (2.10)
причем
,
,
; (2.11)
; ;
. (2.12)
Условие принято для определенности при выборе , , среди шести корней уравнения (2.10).
Учитывая (2.5) и (2.8), для напряжений и перемещений в матрице найдем [56]
,
; (2.13)
. (2.14)
Здесь
, ;
,
;
,
;
- жесткие перемещения тела как целого.
На границе тела комплексные потенциалы должны удовлетворять условиям [56]
, (2.15)
где
, , ,
в случае первой основной задачи;
, , ,
для второй основной задачи; - проекции на оси координат заданных на границе усилий; , , - постоянные; - заданные перемещения; - длина дуги контура, обходимого против часовой стрелки. Здесь и далее верхние знаки относятся к внешнему контуру области, нижние - к внутренним контурам.
Дифференцируя (2.15) по дуге контура, граничные условия можно записать и в виде [54]
. (2.16)
Здесь
; (2.17)
, ,
в случае первой основной задачи;
,
для второй основной задач