РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ
121
2.1. Трехмерные задачи теплопроводности и термоупругости
Рассмотрим отнесенное к прямолинейной декартовой системе координат однородное
анизотропное тело, обладающее прямолинейной тепловой и упругой анизотропией.
Будем считать, что
1. Тело находится под действием неравномерно распределенного температурного
поля;
2. Теплофизические свойства материала тела не зависят от температуры;
3. Возникающие в теле деформации малы и подчиняются обобщенному закону Гука;
4. Начальные напряжения, объемные силы отсутствуют, моментные напряжения
пренебрежимо малы.
Основные соотношения задачи теплопроводности. Выберем в теле бесконечно малый
тетраэдр с вершиной в точке и ребрами , , (рис 2.1). В тетраэдре действуют
внутренние распределенные источники тепла мощности , за счет которых за
промежуток времени выделяется тепло , где – высота тетраэдра, – площадь его
основания . За счет действия внутренних источников тетраэдр получит тепло , где
– плотность материала тела; – его удельная теплоемкость.
Кроме того, в тетраэдр тепло поступает за счет потоков тепла через его
поверхность. Плотности потоков через грани, перпендикулярные к осям, обозначим
, , , через наклонную площадку – . Тогда потоки тепла через эти грани будут
соответственно равны , , , , где – нормаль к плоскости основания тетраэдра.
Из условия баланса тепла для тетраэдра имеем
Если тетраэдр устремить в точку (), то из последнего соотношения получим
. 233
Если теперь обозначить через плотность потока тепла, выходящего из тетраэдра
через основание, то формулу (2.1) можно записать в виде
. 445
Величины , , можно рассматривать как координаты некоторого вектора ,
называемого в дальнейшем вектором теплового потока. Как следует из формулы
(2.2), плотность потока тепла через элементарную площадку с нормалью равна
проекции вектора теплового потока на нормаль к этой площадке.
Направление распространения тепла в теле можно характеризовать и градиентом
скалярного поля температур , т.е. вектором с координатами , , . Согласно закону
Фурье [78] плотность потока тепла через площадку с нормалью задается формулой ,
где – вектор теплопроводности для площадки с нормалью , т.е.
. 657
Проекции , , вектора теплопроводности на оси координат назовем коэффициентами
теплопроводности для направлений соответствующих осей. Так, для площадки с
нормалью на этой основе имеем , где , , – координаты вектора теплопроводности
для площадки с нормалью . Аналогичные формулы получим для других основных
площадок. Окончательно имеем
, 869
где (, принимают значения , , ) – координаты векторов теплопроводности для
основных площадок, называемые коэффициентами теплопроводности для основных
площадок, причем коэффициенты с одинаковыми индексами и – это коэффициенты
теплопроводности для направлений соответствующих осей, с разными индексами –
коэффициенты теплопроводности для касательных направлений к площадкам,
нормальным к осям координат. Коэффициенты являются неотрицательными величинами
[136].
Заметим, что, подставляя выражения (2.4) в (2.2) и сравнивая полученное
равенство с выражением (2.3), будем иметь
. 10711
Выделим внутри тела некоторый объем с поверхностью . Количество тепла ,
проходящего через поверхность за единицу времени, записывается в виде
Расход тепла на изменение температуры рассматриваемой части тела за этот же
промежуток времени имеет вид
Если в выделенном объеме имеются внутренние распределенные источники тепла
плотности , то за счет них за единицу времени тело получает количество тепла
Исходя из баланса тепла () для выделенного объема, переходя в с помощью формулы
Остроградского–Гаусса от поверхностного интеграла к интегралу по объему и
учитывая, что в силу произвольности выделенного объема подынтегральная функция
будет равна нулю, получаем уравнение теплопроводности вида
. 12813
Для стационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников
тепла последнее уравнение с учетом формул (2.4) можно записать в виде [78, 103,
160]
. 14915
Квадратичную форму в левой части уравнения (2.7) можно привести к каноническому
виду. Это означает, что существует некоторая система координат , в которой
дифференциальное уравнение (2.7) примет вид
. 161017
Направления осей системы координат , в которой квадратичная форма левой части
(2.7) приводится к каноническому виду, будем называть главными направлениями
теплопроводности, а площадки, перпендикулярные к главным направлениям –
главными площадками. Постоянные , , будем называть коэффициентами
теплопроводности для главных направлений , , . Как следует из канонического
вида в правой части (2.8), для главных площадок коэффициенты теплопроводности
по касательным направлениям равны нулю.
Коэффициенты теплопроводности для произвольной системы координат можно выразить
через . Действительно, обозначим косинусы углов между осями координат и
(табл. 2.1) и запишем связь систем координат в виде
причем матрица косинусов углов удовлетворяет условию , где – единичная матрица.
В связи с последним справедливы соотношения
. 181119
Тогда равенство квадратичных форм, соответствующих левым частям уравнений (2.7)
и (2.8), запишется в виде
.
- Київ+380960830922