РОЗДІЛ 2
Термопружна задача для зовнішньої
міжфазної тріщини з зоною контакту
в анізотропному біматеріалі
2.1. Зовнішня міжфазна тріщина в біматеріальному просторі
під дією температурного поля
2.1.1. Постановка задачі. Аналіз осциляційної моделі для
зовнішньої тріщини під дією температурного поля
Розглянемо дві різнорідні ортотропні півплощини і з пружними характеристиками і відповідно, які в області розділу матеріалів мають ділянки жорсткого зчеплення , відкриті ділянки , що відповідають тріщинам, і, крім того, вони також можуть мати ділянки гладкого безфрикційного контакту . Будемо вважати, що півплощини нагріті (охолоджені) на температуру порівняно з нормальною.
Використовуючи підхід Вольтера вважаємо, що у півплощинах температурні напруження , а температурні переміщення , де - коефіцієнти лінійного теплового розширення. Останнє справедливо, якщо півплощини не зв'язані.
Вважаючи що півплощини зв'язані на окремих ділянках, одержуємо, що умови сумісності переміщень можуть бути виконані за рахунок накладення пружного рішення так, що на вказаних ділянках при
, (2.1)
, (2.2)
У розділі 1, п. 1.2 отримані наступні вирази для вектору напружень та похідної від переміщень на інтерфейсі:
, (2.3)
, (2.4)
де для випадку плоскої деформації , , - вектор-функція комплексної змінної , яка аналітична у кожній півплощині, включаючи ділянки інтерфейсу , які зчеплені, - біматеріальна матриця, елементи якої визначаються пружними властивостями матеріалів.
Перетворюючи співвідношення (2.3), (2.4) аналогічно п. 1.2, тобто вводячи вектор-функцію , аналітичну в кожній півплощині, за правилом:
, (2.5)
співвідношення (2.3), (2.4) запишемо у вигляді:
, (2.6)
, (2.7)
де ,
причому всі - дійсні. Вектор-функція має той же сенс, що і функція з п. 1.2, але для зручності у випадку термопружної задачі використовуємо для неї спеціальне позначення.
Так як на , тобто , то вектор-функція аналітична на всій площині за винятком ділянки . Тоді з врахуванням (2.7) продиференційоване співвідношення (2.1) дає наступну векторну задачу Гільберта - Рімана:
, , (2.8)
де вектор .
Оскільки для , тобто для , а пружні деформації на нескінченності дорівнюють нулю , то . Це означає, що
. (2.9)
Останнє співвідношення можна розглядати як умову на нескінченності щодо невідомої вектор-функції задачі (2.8).
Розглянемо спочатку осциляційну модель зовнішньої тріщини.
Нехай має місце плоска деформація і ортотропні півплощини, що являють собою характерний поперечний переріз, зчеплені на ділянці , , а на іншій частині інтерфейсу , та , розташовані дві зовнішні тріщини (рис. 2.1).
Вважаємо як і раніше, що півплощини нагріті (охолоджені) на температуру у порівнянні з нормальною. Тоді, припускаючи, що тріщини відкриті, умови на інтерфейсі для поставленої задачі мають вид:
, , для ,
, , , , для , (2.10)
де , - сума температурного та пружного переміщень.
Комбінуючи рівняння (2.6) та (2.7) приходимо до співвідношень аналогічних (1.47), (1.48). Для зручності приведемо їх тут:
, (2.11)
, (2.12)
де , , ,
, , , .
Враховуючи те, що функції , і побудовані з урахуванням неперервності напружень при переході через інтерфейс та задовольняючи за допомогою співвідношень (2.11), (2.12) першій і другій умовам (2.10) приходимо до наступної задачі лінійного спряження для функції :
, , (2.13)
з умовою на нескінченності
, де .
Із співвідношень (2.11), (2.12) використані тільки співвідношення з індексом , що цілком достатньо для одержання необхідних результатів.
На підставі [29] розв'язок задачі (2.13) має вид:
,
де , .
Обчислення останнього інтеграла і задоволення умов на нескінченності приводить до формули:
, (2.14)
де .
Наступне використання формули (2.12) з урахуванням умови для дає вираз для стрибка похідної від переміщень при переході через інтерфейс:
.
Після підстановки виразу для маємо:
. (2.15)
Аналіз останнього співвідношення показує, що при права частина цього виразу нескінченну кількість разів змінює знак, тобто для такої моделі тріщини і в термопружному випадку виникла осцилююча особливість [112], що характеризується фізично нереальним взаємопроникненням матеріалів.
Розглянемо тому контактну модель, про яку вже йшла мова в попередньому розділі.
2.1.2. Основні співвідношення контактної моделі
Для усунення осцилюючої особливості розглянемо уточнену модель правої тріщини, яка припускає, що поблизу її вершини має місце область гладкого контакту берегів із заздалегідь невідомим положенням точки (рис. 2.2).
Умови на інтерфейсі в цьому випадку крім співвідношень (2.10) включають:
, . (2.16)
Умови (2.16) задовольняємо за допомогою співвідношень (2.11), (2.12). Проводячи аналіз аналогічний співвідношенням (1.57), (1.58) розділу 1, одержуємо:
.
Таким чином, з урахуванням умови (2.13) на одержана наступна комбінована крайова задача Діріхле - Рімана:
, , (2.17)
, , (2.18)
з такою умовою на нескінченності:
. (2.19)
Для побудови розв'язку цієї задачі ведемо нову функцію . Тоді задача (2.17) - (2.19) приймає вигляд:
, (2.20)
, (2.21)
. (2.22)
Введемо заміну: і враховуючи те, що приходимо до задачі:
, , (2.23)
, , (2.24)
. (2.25)
Розв'язок даної задачі, одержаний аналогічно роботам [35], [85], у даному випадку має вигляд:
, (2.26)
де
, , (2.27)
, (2.28)
, .
Довільні константи визна