РОЗДІЛ 2
ПРУЖНОПЛАСТИЧНИЙ СТАН ТОНКОСТІННОЇ ТРУБИ, НАВАНТАЖЕНОЇ ВНУТРІШНІМ ТИСКОМ, ЗГИНАЛЬНИМ МОМЕНТОМ І ПОЗДОВЖНЬОЮ СИЛОЮ
2.1. Основні розв'язувальні співвідношення
При згині з розтягом (стиском) прямолінійних елементів (рис. 2.1) тонкостінних трубопроводів виникають нормальні напруження, пов`язані із згинальним моментом M і поздовжньою N силою та нормальні напруження від внутрішнього тиску. В подальшому будемо користуватися циліндричною системою координат, для цього у формулах першого розділу замінимо індекси x, y, z на r, t, z.
Рис. 2.1. Нормальні напруження, що діють на елемент прямолінійного тонкостінної труби навантаженої внутрішнім тиском, згинальним моментом, розтягом (стиском)
При аналізі напружено-деформованого стану цих елементів, як правило, дотичними напруженнями від поперечної сили нехтують, а компоненти напружень і деформацій по товщині стінки приймають сталими. Спричинені внутрішнім тиском кільцеві напруження визначають незалежно від інших компонентів напруженого стану з рівняння рівноваги, а поздовжні деформації - на підставі гіпотези плоских перерізів (гіпотеза Бернуллі). Нормальні напруження в площинках паралельних серединній поверхні тонкостінної труби, аналогічно до випадку тонкостінних оболонок, вважаються малими і при розрахунках не враховуються.
При роботі матеріалу трубопроводу в межах пружності внутрішні зусилля визначають на підставі принципу суперпозиції (принципу незалежності дії сил) незалежно від обумовлених внутрішнім тиском кільцевих напружень, розглядаючи його як стержневу систему. При цьому компоненти напружень визначаються за відомими з опору матеріалів формулами [4,134 та ін.].
Кільцеве нормальне напруження .
, (2.1)
де Р - внутрішній тиск, г - радіус середньої лінії поперечного перерізу, - товщина стінки труби.
Поздовжнє нормальне напруження розтягу - стиску
. (2.2)
Поздовжнє нормальне напруження згинання
, (2.3)
де ? - кутова координата точки середньої лінії поперечного перерізу, що відраховується від площини дії згинального моменту.
Розрахунок трубопроводу з урахуванням пластичних деформацій суттєво ускладнюється і потребує застосування чисельних методів, ЕОМ та значних витрат часу. Пояснюється це тим, що характеристики жорсткості поперечного перерізу трубопроводу при розтязі і згині залежать не лише від фізичної нелінійності матеріалу, але й від величини внутрішнього тиску (кільцевого напруження ).
При навантаженні труби за межею пружності складові напружень визначають незалежно між собою за допомогою рівнянь статики лише у часткових випадках, коли згинальний момент і поперечна сила дорівнюють нулеві. Інакше напруження взаємопов'язані між собою і для їх визначення потрібно розглядати геометричну і фізичну сторони задачі.
У випадку плоских ділянок тонкостінних трубопроводів, елементи яких зазнають згину з розтягом (стиском) (рис.2.2), задачу про визначення напружено-деформованого стану та характеристик жорсткості можна істотно спростити, звівши її до одновимірної, використовуючи запропонований в роботі [16] підхід. Суть підходу полягає в представленні поздовжніх напружень і деформацій у вигляді суми двох частин, одна з яких пов`язана з навантаженням труби як стержня (з зусиллями N і M), а друга - з її навантаженням, як циліндричної оболонки, внутрішнім тиском Р.
Нехтуючи дотичними напруженнями від поперечної сили, представимо вираз для інтенсивності напружень (1.15) для плоского напруженого стану у вигляді
. (2.4)
З останнього рівняння випливає
. (2.5)
Рис. 2.2. Схема деформування елемента тонкостінної труби при згині з розтягом
З (2.5) видно, що перший доданок є додатнім напруженням від дії внутрішнього тиску, яке дорівнює і є рівномірно розподіленим по всьому поперечному перерізі труби. Позначимо другий доданок рівняння (2.5)
, (2.6)
що є напруженням зумовленим згином та розтягом і яке нелінійно змінюється в пластичній зоні перерізу. Таким чином, при плоскому напруженому стані формулу (2.5) представимо у вигляді
. (2.7)
Приймаючи до уваги вирази (1.12 і 2.5-2.7) співвідношення пластичності (1.14) можна представити у вигляді
;
(2.8)
;
де
; ; (2.9)
- змінний модуль деформації першого роду.
Як видно з першого співвідношення (2.8), осьова деформація за аналогією до осьового напруження також поділяється на дві частини. При цьому частина деформації, що пов'язана з кільцевими напруженнями від внутрішнього тиску, визначається незалежно від згину і розтягу (стиску), а величина є деформацією труби як стержня і пов'язана з внутрішніми силовими факторами і , що виникають в її поперечних перерізах.
, (2.10)
де
, (2.11)
де Е, - модуль пружності і коефіцієнт Пуассона, - кільцеве напруження.
Згідно з гіпотезою плоских перерізів (гіпотеза Бернуллі), складова поздовжньої деформації точок середньої лінії поперечного перерізу труби визначається за формулою
, (2.12 )
де - кутова координата нескінченно малої площі поперечного перерізу (рис. 2.2), - повна відносна деформація поздовжньої осі, - безрозмірна кривина зігнутої осі.
При відомій діаграмі деформування матеріалу труби і кільцевому напруженні, використовуючи методику роботи [16], можна побудувати графік залежності між складовими поздовжнього напруження і поздовжньої деформації, що пов'язані з навантаженням труби як стержня (рис.2.3). В пружній зоні ця залежність лінійна. Напруження на границі між пружною і пластичною зонами можна встановити прирівнюючи величину інтенсивності напружень у виразі (2.6) до границі текучості .
(2.13)
Поздовжня деформація, що відповідає цьому напруженню згідно з виразом (2.9) визначається за формулою
. (2.14)
З останніх двох виразів випливає, що величина максимальної пружної деформації залежить від кільцевого напруження і при пластичні деф