РОЗДІЛ 2
ОДНОРІДНЕ РІВНЯННЯ
2.1. Постановка задачі
У комплексному банаховому просторі розглядається лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку
. (2.1)
Тут - незалежна змінна (комплексна скалярна); - шукана вектор-функція; - натуральне число; і - лінійні оператори, які діють в , голоморфні для , , в деякому відкритому секторі -площини з кутом, меншим , де - ціле невід'ємне число, яке в подальшому визначається з формули (1.32) або (1.42) відповідно; вони допускають зображення
, , (2.2)
де , - замкнені лінійні нормально розв'язні фредгольмові оператори з щільними областями визначення, які утворюють у перерізі непорожню область , причому пучок операторів регулярний, тобто є такі числа , для яких існує обмежений обернений оператор , нуль є ізольованою точкою спектру оператора , і - обмежені лінійні оператори, які залишають інваріантною область і у вказаній частині -площини допускають асимптотичні розвинення
, , (2.3)
де , - замкнені лінійні оператори. Таким чином, оператори і допускають асимптотичні розвинення
, , (2.4)
в яких , - лінійні оператори, які діють в , незалежні від .
Розглядається питання побудови частинних формальних розв'язків рівняння (2.1) у даній частині -площини.
2.2. Розв'язки першої групи
Нехай пучок операторів має власне число (ізольовану точку спектру). Відповідні йому частинні формальні розв'язки рівняння (2.1) мають вигляд:
, (2.5)
де - скалярна функція, - вектор-функція з , які зображаються у вигляді формальних розвинень
, , (2.6)
- натуральне число, яке в подальшому визначається як довжина жорданового ланцюжка -приєднаних векторів, тут можна взяти довільний фіксований корінь степеня з .
Підставивши (2.5) у (2.1), отримаємо рівняння
Підставивши в нього розвинення (2.4), (2.6) і зрівнявши коефіцієнти при однакових степенях , отримаємо нескінченну систему лінійних операторних рівнянь
, (2.7)
, , (2.8)
де , , - лінійні оператори, - вектори з , складені з коефіцієнтів розвинень (2.4), (2.6), вони мають наступний вигляд:
, , (2.9)
, (2.10)
Позначимо через -наближений розв'язок, який отримується з розв'язку (2.5), (2.6) шляхом обривання розвинень (2.6) на -му члені:
, (2.11)
де
, , (2.12)
і задовольняє в точці ту саму початкову умову, що й :
. (2.13)
Вигляд частинних формальних розв'язків (2.5), (2.6) рівняння (2.1) суттєво залежить від відповідної нульовому власному числу оператора канонічної системи -приєднаних векторів. Розглянемо різні випадки.
2.2.1. Один жордановий ланцюжок -приєднаних векторів одиничної довжини
Нехай власному числу пучка операторів відповідає один власний вектор , -приєднані вектори відсутні. Виберемо елемент нуль-простору спряженого оператора таким чином, щоб виконувалося співвідношення
. (2.14)
Теорема 1. Якщо власному числу пучка операторів відповідає один власний вектор, який не має -приєднаних векторів, то рівняння (2.1) має частинний формальний розв'язок вигляду (2.5), (2.6), де .
Доведення теореми полягає в побудові алгоритму визначення коефіцієнтів розвинень (2.6). З рівняння (2.7) випливає:
. (2.15)
Рівняння (2.8) розв'язні тоді і тільки тоді, коли виконується умова
, (2.16)
При її виконанні вектори визначаються за формулою
, (2.17)
Для , враховуючи (2.9), (2.10), (2.14), (2.15), умова (2.16) набуває вигляду:
звідси
Далі знайдемо вектор за формулою (2.9) і вектор за формулою (2.17).
Всі наступні коефіцієнти розвинень (2.6) визначаються рекурентно. Якщо і вже визначені для всіх , то, використовуючи умову (2.16) на -му кроці, знайдемо :
де
- вже відомий вектор з . Далі визначимо вектор за формулою (2.9) і вектор за формулою (2.17).
Теорему доведено.
Зауваження 1. Для доведення теореми 1 ніде не використовувалася умова, чи існує обернений оператор . Тому побудований розв'язок (2.5), (2.6) існує незалежно від неї.
Практичне значення викладеного вище асимптотичного методу полягає не в збіжності рядів (2.6) (у багатьох випадках ці ряди є розбіжними), а в асимптотичній поведінці -наближеного розв'язку (2.11) - (2.13).
Покажемо, що побудований частинний формальний розв'язок рівняння (2.1) є асимптотичним зображенням у розумінні [2] деякого точного розв'язку цього рівняння.
Теорема 2. Якщо виконується умова теореми 1, то в тій частині -площини, яка розглядається, для досить великих існує такий точний розв'язок рівняння (2.1), для якого побудований формальний розв'язок (2.5), (2.6) з початковою умовою
(2.18)
є його асимптотичним зображенням для . Для -наближеного розв'язку (2.11) - (2.13) для будь-якого натурального виконується нерівність
, (2.19)
де - ціле невід'ємне число, яке визначається з формули (1.32) або (1.42) відповідно.
Доведення. Підставивши (2.11) у (2.1), отримаємо рівняння
Внаслідок побудови розв'язку (2.5) вираз у квадратних дужках є величина порядку , звідси
тобто вектор-функція
(2.20)
задовольняє рівняння
(2.21)
з початковою умовою
, (2.22)
згідно (2.13). Якщо існує оператор (1.32), то перетворимо рівняння (2.21) до наступного вигляду:
, (2.23)
а якщо ні, то з урахуванням (1.42) до аналогічного вигляду, оскільки розв'язок існує (див. зауваження 1
- Київ+380960830922