РАЗДЕЛ 2
ФОРМООБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ ИЗ СБОРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
2.1. Геометрия поверхности
Гиперболический параболоид является одной из самых распространенных в практике поверхностей 2-го порядка, применяемых для конструирования оболочек.
Гиперболический параболоид (гипар) представляет собой трансляционную линейчатую не развертывающуюся антикластическую поверхность отрицательной гауссовой кривизны [63].
Рис. 2.1. Формообразование поверхности типа гиперболического параболоида.
В строительстве применяются два вида оболочек рассматриваемого типа:
- оболочки гипар с контуром, состоящим из прямых линий в виде скрученного прямоугольника или параллелограмма;
- оболочки с контуром из кривых линий - седловидной формы.
Срединная поверхность оболочек обоих видов одинакова - гиперболический параболоид. В декартовой системе координат срединная поверхность представлена в таком виде [63]:
z = f(x, y);
где x, y, z - абсциссы, ординаты и аппликаты точек срединной поверхности.
Уравнения поверхности гиперболического параболоида может быть задано в явной форме: (2.1.1)
или в неявной форме: (2.1.2)
Через каждую точку поверхности можно провести бесчисленное множество плоских кривых, представляющих собой линии пересечения с различными плоскостями. Все касательные к плоским кривым на поверхности в данной точке лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в данной точке. Уравнение касательной плоскости в точке с координатами (x, y, z):
(2.1.3)
где x, y, z - координаты точки, - текущие координаты касательной плоскости;
(2.1.4)
где p, q, r, s, t - обозначения Монжа.
Прямая, проведенная через точку нормально к касательной плоскости в этой точке, называется нормалью поверхности в этой точке. Уравнение нормали поверхности в точке:
(2.1.5)
Косинусы углов, составляемых нормалью N поверхности с осями координат Ox, Oy, Oz, могут быть получены из формул:
(2.1.6)
Плоскость, проведенная через нормаль к поверхности в точке с координатами (x, y, z), называется нормальной плоскостью.
Кривая пересечения поверхности нормальной плоскостью в точке называется нормальным сечением поверхности в этой точке.
Вращая нормальную плоскость вокруг нормали, мы получим бесчисленное множество нормальных сечений, каждое из которых имеет некоторую определенную для данного сечения кривизну:
где R - радиус кривизны.
Особо для каждой из точек поверхности выделяют пересекающихся два нормальных сечения, которые имеют наибольшую ?1 и наименьшую ?2 кривизны или наименьший R1 и наибольший R2 радиусы кривизны. Такие нормальные сечения называются главными нормальными сечениями, кривизны ?1 и ?2 - главными кривизнами в точке, R1 и R2 - главными радиусами кривизны поверхности в точке. Плоскости главных нормальных сечений взаимно перпендикулярны.
Средняя кривизна поверхности в данной точке (являющаяся полусуммой главных кривизн): (2.1.7)
Полная или гауссова кривизна поверхности (являющаяся произведением главных кривизн) в данной точке:
, (2.1.8)
Величина гауссовой кривизны может быть положительной, отрицательной и нулевой в зависимости от величины разности . Для поверхности гипара гауссова кривизна отрицательна, т.е. < 0. Здесь главные кривизны имеют разные знаки и поскольку это имеет место в каждой точке поверхности, то она называется антикластической и имеет два семейства асимптотических линий.
Поверхность оболочек гипар относят к трансляционным (поверхностям переноса), которые получают путем перемещения прямолинейной или плоской криволинейной направляющей, причем плоскость образующей остается параллельной некоторой заданной плоскости.
В зависимости от того, может ли прямая линия быть совмещена с поверхностью, различают поверхности линейчатые и нелинейчатые. Гиперболическую поверхность относят к линейчатой и неразвертывающейся. Последнее означает, что ее нельзя выпрямить без разрывов и складок.
Принято называть оболочку подъемистой [65], если отношение величины стрелы подъема f над перекрываемым планом к меньшему линейному размеру прямоугольника плана а характеризуется неравенством:
При отношении оболочка называется пологой.
Построение поверхности оболочки гипар можно выполнить двумя способами.
Перенося параллельно первую параболу, принятую за образующую, по второй параболе, принятой за направляющую и выделив участок поверхности четырьмя плоскостями, получаем седлообразную трансляционную оболочку - трансгиполоид.
В декартовой системе координат образующую и направляющую параболы получают при пересечении поверхности оболочки координатными плоскостями - и соответственно. Все вертикальные плоскости, параллельные координатным плоскостям и , пересекаются по параболам, конгруэнтным с образующей и направляющей параболами. Плоскости, проходящие через ось , но не параллельные координатным плоскостям, рассекают оболочку также по параболам, параметры которых отличаются от параметров образующей и направляющей парабол [103].
Только две проходящие через ось Оz плоскости, а также два семейства параллельных им вертикальных плоскостей пересекают оболочку не по параболам, а по прямым, так называемым асимптотическим линиям.
Если выделить на поверхности гиперболического параболоида двумя парами таких вертикальных плоскостей часть поверхности, получается участок, контур которого составлен четырьмя прямыми асимптотическими линиями ("асимгиполоид"). Таким образом, следует, что через любу