РАЗДЕЛ 2
ИССЛЕДОВАНИИ ОГРАНИЧЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПРИ ПОМОЩИ
ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
2.1. Нелинейные динамические системы. Основные определения
Рассмотрим нелинейные динамические системы, поведение
которых описывается неавтономной системой ОДУ вида:
(2.1)
где , или в векторной форме
где x - точка евклидова пространства с нормой
В уравнениях (2.1) функции удовлетворяют условию Липшица и Следовательно [109, с. 81], решения системы (2.1) существуют.
Определение 2.1. Решения системы (2.1) будем называть ограниченными, если для любого существует сфера конечного радиуса, внутри которой будет оставаться траектория при любом где - время начала движения.
Определение 2.2. (Ляпунов А.М. [2, с. 80]) Функцию непрерывную вместе с ее частными производными в некоторой окрестностиначала координат, будем называть знакопостоянной, если существует такое что и выполняется одно из двух соотношений: или и . При этом, если , то будем называть функцию положительной, в противном случае - отрицательной.
Определение 2.3 (Ляпунов А.М.) Функцию будем называть определенно положительной (определенно отрицательной), если , имеем W(x)>0 (W(x)<0), W(0)=0.
Определение 2.4 (Ляпунов А.М.) Функцию будем называть знакоопределенной, если существует такое и функция W(x) (определение 2.3), что одно из двух выражений
или
представляло бы собой функцию положительную (определение 2.2).
Определение 2.5 (Ляпунов А.М,) Если в области при функция может принимать значения любого знака, то ее будем называть знакопеременной.
Так как в дальнейших предложениях широко используется понятие бесконечно большой функции (определение 1.1), введем еще один вариант определения таких функций.
Определение 2.6. Функцию W(x) будем называть бесконечно большой, если
(2.2)
Определение 2.7. Будем говорить, что функция допускает бесконечно большой положительный (отрицательный) низший предел, если существует и бесконечно большая функция W(x) такие, что выполняется условие: .
Отметим, что функции, соответствующие определению 2.6 и 2.7 в отличие от классического определения [110, с. 11] могут быть знакопеременными. Например, функция - бесконечно большая, так как для нее выполняется условие (2.2). В тоже время эта функция знакопеременна, так как при
имеем а при
имеем .
2.2. Ограниченность движений нелинейных динамических систем
Лемма 2.1 Если функция V(x,t) допускает бесконечно боль-
шой низший предел, то множества ={x: V(x,t)=c, c<} ограничены.
Доказательство. Допустим, что лемма неверна, то есть для
некоторых t>t0 множество неограничено. Это означает, что в нем
существует бесконечно большая последовательность :
.
Согласно определениям 2.6 и 2.7 в этом случае последова- тельность значений функции V в этих точках также бесконечно большая, то есть:
(2.3)
Но по условию леммы
V(x,t) = c, (2.4)
где .
Значит, (2.3) противоречит (2.4). Следовательно, сделанное в начале доказательства предположение неверно, откуда вытекает справедливость леммы 2.1.
Для анализа ограниченности в целом движений динамических систем предлагается удобное в применении утверждение, которое является очевидным следствием идей прямого метода Ляпунова.
Теорема 2.1 Для того, чтобы решения системы 2.1 были ограничены при любых начальных возмущениях, достаточно, чтобы существовала допускающая бесконечно большой низший предел определённо положительная функция V(x,t), такая, что её полная производная по времени (x,t) на k имела произвольный знак, а вне k соблюдалось соотношение:
, (2.5)
где k - ограниченное множество значений х.
Доказательство. Пусть начальная точка движения МО находится вне k (рис. 2.1). Обозначим значение функции V в этой точке через VO. Очевидно, что при t>tO вне k будет соблюдаться неравенство V
0.
k
.МО
Рис. 2.1. Направления траекторий в области и вне её.
Пример 2.1. Рассмотрим систему
(2.6)
где
Для исследования поведения её решений выберем определен- но положительную функцию, допускающую бесконечно большой низший предел
(2.7)
Её полная производная по времени с учётом уравнений (2.7) имеет вид
(2.8)
На основании анализа выражения (2.8) можно сделать вывод, что в области сравнительно малых отклонений возможно соотноше- ние > 0. Например, оно выполняется , если х2 = 0, и д