РАЗДЕЛ 2
ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ
2.1. Основная система уравнений трехмерной электроупругости
для анизотропного тела
Рассмотрим анизотропное тело из пьезоэлектрического монокристалла, находящееся под действием внешних механических и электрических полей и отнесенное к прямоугольной системе координат . Будем считать, что
1. Тело является однородным диэлектриком с пренебрежимо малым намагничиванием, его материал обладает прямолинейной анизотропией;
2. Деформации тела малы и подчиняются обобщенным уравнениям электроупругого состояния;
3. Объемные силы, начальные и моментные напряжения малы;
4. Свободные заряды отсутствуют, т.е. плотность их потока равна нулю.
С учетом этих предположений определение электроупругого состояния тела сводится к интегрированию основной системы уравнений, состоящей из
уравнений равновесия сплошной среды [105]
, ,
; (2.1)
уравнений вынужденной электростатики [43]
, ,
, ; (2.2)
уравнений электроупругого состояния [49]
,
,
,
,
,
,
,
,
; (2.3)
уравнений совместности Сен-Венана [105, 43]
, ,
, ,
,
, (2.4)
где
, , ,
, , ,
, , ; (2.5)
, , , , , и , , , , , - компоненты тензора механических напряжений и деформаций; , , - проекции вектора перемещений; , , , , , и - компоненты векторов индукции, напряженности и потенциал электростатического поля; - коэффициенты деформации материала тела, измеренные при постоянной напряженности электростатического поля; - коэффициенты диэлектрической проницаемости, измеренные при постоянных силовых напряжениях; - пьезоэлектрические модули индукции и деформаций. Уравнения состояния (2.3) в матричном виде имеют вид
, , (2.6)
где
, , , , , ,
, , , , , ,
, , , , , ; (2.7)
, , - соответствующие матрицы коэффициентов в соотношениях (2.3). Здесь и далее, повторяющиеся индексы означают суммирование по ним. Уравнения состояния (2.3) записывают в другом, эквивалентном виде [49]
,
,
,
,
,
,
,
,
, (2.8)
который получается из (2.3), если последние ее три уравнения решить относительно , , и подставить их выражения в остальные. Входящие в (2.8) величины носят названия: - коэффициенты деформации материала тела, измеренные при постоянной электростатической индукции; - коэффициенты диэлектрической восприимчивости, измеренные при постоянных напряжениях; - пьезоэлектрические модули напряженности и деформаций. Уравнения (2.8) в матричном виде записываются так:
, . (2.9)
Из систем (2.3), (2.8) получаем еще две формы уравнений состояния
, ; (2.10)
, , (2.11)
где и - модули упругости, измеренные при постоянной напряженности и индукции соответственно; , - пьезоэлектрические модули напряженности и напряжений, индукции и напряжений соответственно; , - коэффициенты диэлектрической восприимчивости и проницаемости, измеренные при постоянной деформации.
Заметим, что по известным коэффициентам одной из форм уравнений состояния можно получить другие, используя формулы пересчета [49]
, , ,
, , ,
. (2.12)
Систему уравнений (2.1) - (2.4) (или ей аналогичную, когда уравнения состояния приняты в одной из других приведенных выше форм) необходимо интегрировать при определенных условиях на границе тела, где могут задаваться значения усилий, перемещений, индукции или потенциала электростатического поля. Уравнения состояния упрощаются, если тело имеет плоскости материальной симметрии.
Тело с одной плоскостью материальной симметрии. Пусть в каждой точке тела имеется одна плоскость материальной симметрии (упругой и электрической). Тогда тело относится к моноклинной системе, классу [47]. Пусть плоскость материальной симметрии перпендикулярна к оси выбранной прямоугольной декартовой системы координат. Наряду с системой координат введем новую , для которой , , . В последней системе из физических соображений и правил выбора знака для основных характеристик электроупругого состояния будем иметь
, , , ,
, , , , , ,
, , , , , ,
, , ,
,
, . (2.13)
В этой системе уравнения состояния (2.8) будут такими:
,
,
,
,
,
,
,
,
. (2.14)
Подставляя (2.13) в (2.14) и сравнивая полученные равенства с (2.8), будем иметь
,
, . (2.15)
Тогда уравнения состояния (2.8) для тела с одной плоскостью материальной симметрии примут вид
,
,
,
, ,
,
,
,
. (2.16)
Соотношения (2.16) приведены для