РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕПЛОВЫХ ПОЖАРНЫХ ИЗВЕЩАТЕЛЕЙ
В основу построения чувствительных элементов тепловых пожарных извещателей положены различные физические эффекты и явления (табл. 2.1) [5, 17, 45 - 50].
Таблица 2.1
Физические эффекты, положенные в основу построения ЧЭ ТПИ
Физический эффектЧувствительный элементЯвление теплового расширенияБиметаллическая пластинаИзменение механических свойств легкоплавких сплавовТепловой замокЭффект КюриФерритовые кольцаЭффект памяти формыПластина с ЭПФТермоэлектрический эффектТермопараТерморезистивный эффектТерморезисторТензорезистивный эффектТензорезистор
2.1. Модели чувствительного элемента пожарного извещателя на основе явления теплового расширения
Чувствительный элемент теплового пожарного извещателя на основе явления теплового расширения может быть представлен в виде двухслойной пластины, толщина которой гораздо меньше других ее линейных размеров (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Схема чувствительного элемента ТПИ на основе явления теплового расширения: 1, 2 - пластины (h1 - толщина 1-й пластины; h2 - толщина 2-й пластины)
Тепловые процессы, протекающие в данном элементе, можно описать дифференциальными уравнениями [51, 52]
(2.1)
, (2.2)
где Т1 и а1 - температура и коэффициент температуропроводности 1-й пластины; Т2 и а2 - температура и коэффициент температуропроводности 2-й пластины.
Граничные и начальные условия имеют вид
; (2.3)
; (2.4)
(2.5)
; (2.6)
, (2.7)
где ?1 и ?2 - коэффициенты конвективного теплообмена 1-й и 2-й пластины соответственно; ?1 и ?2 - коэффициенты теплопроводности материала 1-й и 2-й пластины соответственно; - температура окружающей среды.
Разложим Т1(x,t) и Т2(x,t) в ряд Тейлора по переменной х, с учетом граничного условия (2.6) [53, 54]
(2.8)
(2.9)
Продифференцировав по координате х выражения (2.8) и (2.9), получим
(2.10)
(2.11)
Учитывая граничное условие (2.5), подставим выражения (2.10) и (2.11) в граничные условия (2.3) и (2.4) соответственно
(2.12)
(2.13)
Пренебрегая вторыми членами ряда, перепишем выражения (2.12) и (2.13) следующим образом
; (2.14)
(2.15)
Из выражений (2.14) и (2.15) получим выражения для Т?1 и Т?2:
; (2.16)
(2.17)
Выражения (2.14), (2.15) верны, если выполняются соотношения и , то есть
(2.18)
(2.19)
Следовательно, можно записать
(2.20)
(2.21)
откуда следует, что функционирование извещателей такого типа характеризуется малыми значениями чисел Био, т. е.
(2.22)
(2.23)
В качестве допущения будем полагать, что выходным сигналом ЧЭ служит сигнал, соответствующий среднеобъемному значению температуры
, (2.24)
вследствие чего, среднеобъемные значения температур каждой из пластин можно определить с помощью выражений следующего вида
; (2.25)
. (2.26)
Для получения уравнения, описывающего зависимость от времени, воспользуемся системой уравнений (2.1), (2.2), которую перепишем следующим образом
(2.27)
. (2.28)
С учетом выражений (2.25), (2.26) эту систему можно записать в виде
; (2.29)
. (2.30)
Полагая , на основании (2.29) и (2.30) можно записать
(2.31)
(2.32)
Сложив выражения (2.31) и (2.32), с учетом краевых условий (2.5), получим
. (2.33)
Подставив в (2.33) граничные условия (2.3) и (2.4), получим следующее выражение
(2.34)
Перепишем выражение (2.34) с учетом условий (2.22), (2.23)
. (2.35)
Из выражения (2.35) следует
, (2.36)
откуда, введя обозначение
, (2.37)
получим
. (2.38)
Прогиб биметаллической пластины при воздействии температуры определяется выражением [18]
, (2.39)
где ?1, ?2 - коэффициенты линейного расширения материала 1-й и 2-й пластины; h1, h2 - толщина 1-й и 2-й пластины; l - длина пластин; Т0 - начальная температура ЧЭ.
Если ввести обозначение
, (2.40)
то после дифференцирования (2.39), объединения с (2.38) и применения интегрального преобразования Лапласа [55, 56] можно записать выражение для передаточной функции ЧЭ в следующем виде [57, 58]
, (2.41)
Анализ тепловых пожарных извещателей данного типа показал, что для изготовления активного слоя биметаллической пластины чаще всего используются латунь (? = 178·10-7 K-1) или алюминий (? = (200 ? 250)·10-7 K-1). Для изготовления пассивного слоя используется сплав инвар (? = 45·10-7 K-1) [59]. Размеры пластин находятся в следующих диапазонах: длина - (0,01 ? 0,1) м; ширина - (0,5 ? 1,5)·10-2 м; толщина - (1 ? 5)·10-4 м.
Как показано на рис. 2.2 биметаллическая пластина с алюминиевым активным слоем обладает большим значением коэффициента передачи чем, пластина с латунным активным слоем, при од
- Київ+380960830922