Ви є тут

Гідродинаміка кавітаційного пухирця поблизу поверхні виробу, що очищується

Автор: 
Мартинюк Олександр Ярославович
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2004
Артикул:
0404U004933
129 грн
Додати в кошик

Вміст

раздел 2.2):

В приведенных выражениях, учитывая, что ни объём пузырька, ни координаты каких-либо его точек не могут принимать бесконечно больших значений или быть меньше нуля, неограниченность может возникнуть только при равенстве нулю знаменателей дробей в выражении в скобках. Производные по k приводят к аналогичному выводу.

При вычислении производных по координатам точки, в которой определяется скорость, получим

При определении производных от проекций скоростей по координатам остальных точек контура, отличных от той, в которой вычисляется скорость, получим следующее выражение:

где u - вертикальная или горизонтальная координата точки контура, отличной от той, в которой вычисляется скорость.
Анализируя производные от объёма пузырька по координатам любой точки можно сказать, что они не могут принимать бесконечно больших значений, т.к., учитывая плавность контура пузырька, объём всего пузырька слабо зависит от координат одной точки разбиения.
Т.е. неустойчивость в (2М) уравнениях, описывающих перемещения точек контура пузырька, возможна только при достижении пузырьком нулевого объёма. Учитывая численный метод решения системы с конечным шагом интегрирования, неустойчивость может наступить раньше - когда объём пузырька будет иметь порядок одного изменения объёма на одном шаге интегрирования. Т.е.

где ? - шаг интегрирования по времени.
Т.о. устойчивость на последних стадиях захлопывания будет прямо зависеть от шага интегрирования. Вычисления будут устойчивы, пока выполняется условие:

. (2.6)

Рассмотрим теперь выполнение условий теоремы Коши для уравнения (2.5). Учитывая условие (2.6), выражение в правой части уравнения (2.5) будет ограничено, если ограничены выражения: , , и не равна нулю сумма . Рассмотрим выражение для

Учитывая, что - постоянная величина, а , и - ограниченые функции при выполнении условия (2.6), выражение будет ограничено, если будет ограничена производная

Выражения в скобках в правой части будут ограничены при выполнении условия (2.6), а выражения

будут ограничены при выполнении условия (2.6) и ограничености выражений для и рассмотренных выше.
Ограниченость и неравенство нулю выражения

вытекает из выполнения условия (2.6).
Рассмотрим ограниченость производных выражения (2.5) по различным аргументам: rm, zm, h, ?, ?, ?, ...
Производная по любому аргументу (обозначим в общем виде u) будет иметь вид:

Учитывая, что ограниченость выражений в скобках и неравенство нулю выражения в знаменателе уже рассматривались выше, все производные выражения (2.5) будут ограничены, если будут ограничены производные

и .

Рассмотрим выражение для

Ограниченость второго слагаемого следует из ограничености функций и рассмотренных выше. Учитывая ограниченость функций , ограниченость приведенного выражения можно оценить по ограничености производных

Ограниченость первого слагаемого вытекает из условия (2.6). Производная может принимать только два значения: 1 (при u=?) и 0 (при u??). Ограниченость выражения в скобках при рассматривалась выше. Ограниченость третьего слагаемого вытекает из рассмотренной ранее ограничености проекций скоростей и их производных. Рассмотрим подробнее последнее слагаемое

Рассмотрим ограниченость вновь образованных производных. Производная от объема пузырька

будет ограничена из-за ограничености выражений для объёма пузырька, отностительной скорости изменения объёма и их производных при выполнении условия (2.6). Выражение

будет ограничено при выполнении условия (2.6). Выражение

преобразуем к виду

Ограниченость сомножителей первого слагаемого рассмотрена выше. Неравенство нулю знаменателя второго слагаемого вытекает из условия (2.6). Ограниченость производных в числителе второго слагаемого вытекает из ограничености проекций скоростей и их производных при выполнении условия (2.6).
Рассмотрим выражение

Ограниченость второго слагаемого следует из ограничености функций и рассмотренных выше. Учитывая ограниченность функций , ограниченность приведенного выражения можно оценить по ограниченности производных

Ограниченность обоих слагаемых при выполнении условия (2.6) была рассмотрена выше.
Т.о., представленный вычислительный метод модели захлопывания кавитационных пузырьков в окрестности твёрдой граничной поверхности сохраняет устойчивость в диапазоне выполнения условия (2.6).

2.4. Выводы

1. Рассмотренная методика позволяет визуализировать влияние ограничивающих поверхностей и соседних пузырьков на поле скоростей микропотоков в жидкости.
2. Методика позволяет рассчитать значения относительных скоростей жидкости в окрестности кавитационных пузырьков и прогнозировать изменение формы пузырька в процессе его развития в ограниченном пространстве
3. Методика позволяет рассчитать взаимовлияние кавитационных пузырьков в реальных многопузырьковых условиях.
4. Выведенная математическая модель позволяет рассчитать параметры процесса захлопывания кавитационных пузырьков в окрестности "твердой" граничной поверхности под действием измения статического давления или акустического поля.
5. При составлении модели приняты следующие допущения:
- движение жидкости безвихревое;
- влияние сил тяжести пренебрежимо мало;
- жидкость - невязкая и несжимаемая;
- силы поверхностного натяжения учитываются только интегрально, как составляющая давления газов внутри пузырька.
6. Модель позволяет расчитать поле мгновенных скоростей жидкости в окрестности пристеночного кавитационного пузырька, его форму, размеры, смещение центра тяжести, а также ударные давления на граничной поверхности.
7. Для повышения точности модели при расчёте послед