РОЗДІЛ 2
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ СИСТЕМ З ШАРУВАТОЮ СТРУКТУРОЮ
У розділі наведено основні фізико - математичні моделі дисперсійних гідродинамічних систем з шаруватою структурою. Необхідність застосування конкретних моделей у окремих випадках шаруватих систем обумовлена різними за характером геометричними та фізичними параметрами неоднорідностей систем, умовами виникнення та різноманітністю форм хвильових рухів у них, відносною величиною амплітуди хвиль від геометричних параметрів систем, пріоритетністю сил, що діють у заданій системі за умов поширення хвиль.
Представлено класичний підхід до вивчення поверхневих хвильових рухів, виведене рівняння стану рідини, що рухається, та основні рівняння гідромеханіки у формі Ейлера. У рамках загального підходу до вивчення впливу неоднорідностей на хвильові рухи представлені основні відомості про потенціальний рух рідини з найбільшими відхиленнями на поверхні, а також про причини їх утворення.
Ефективність застосування тих чи інших математичних методів до розв'язування задач гідродинаміки залежить від характерних особливостей розглядуваного класу задач. Методику застосування методу багатомасштабних розвинень до третього порядку викладено на прикладі задачі про поширення хвильових пакетів вздовж поверхні контакту двох напівобмежених рідин. У розділах 3 та 4 цим методом досліджуються нові нелінійні задачі про еволюцію хвильових пакетів у гідродинамічних системах. Дано стислий огляд оберненого методу розсіювання для нелінійного рівняння Шредінгера. При написанні розділу 2 були використані матеріали з підручників, монографій та статей [92-98], [73], [58], [48].
2.1. Поширення і дисперсія хвиль
Під хвилею розуміють збурення, що рухається по простору з скінченою, хоча і не обов'язково сталою, швидкістю. Особливе місце в теорії хвиль, що розповсюджуються, посідає гармонічна функція
(2.1)
Тут - фаза хвилі. Рівняння (2.1) описує поширення хвилі в додатному напрямку вісі Ox. Якщо фаза хвилі має вигляд , то хвиля поширюється в протилежному напрямку. Хвильове число і та циклічна частота можуть бути виражені через довжину хвилі і фазову швидкість c:
(2.2)
Хвилю (2.1) можна розглядати як тестову для дослідження властивостей системи. Інші хвилі можуть бути представлені як суперпозиція хвиль вигляду (2.1). Хвиля вигляду (2.1) називається гармонічною, монохроматичною або біжучою хвилею. Фазова швидкість c - це швидкість поширення біжучої хвилі.
В реальних системах хвилі поширюються не при будь-яких і k, а тільки при тих, які пов'язані залежністю від k (або с від ):
(2.3)
З (2.2) і (2.3) для фазової швидкості маємо . Дисперсійне рівняння дає багату інформацію про властивості розглядуваної системи, в тому числі про її стійкість, і може розглядатись як ефективний засіб для дослідження хвильових моделей.
З точки зору теорії хвиль динамічні системи можна розділити на дві категорії: бездисперсійні і дисперсійні. В першому випадку фазова швидкість не залежить від довжини хвилі: . В другому випадку фазова швидкість залежить від довжини хвилі . В цьому разі кожна монохроматична хвиля поширюється зі своєю швидкістю і початковий сигнал спотворюється по мірі поширення. Дисперсія хвиль породжується фізичними властивостями середовища, або геометричними границями системи, в якій розповсюджуються хвилі, або одним і іншим одночасно.
При поширенні хвиль в реальній системі, вони мають тенденцію групуватися в пакет хвиль, що поширюється з груповою швидкістю:
(2.4)
Групова швидкість характеризує рух хвильового пакету в середовищі з дисперсією в межах невеликих відстаней, коли пакет зберігає свою форму і розміри. Вперше поняття групової швидкості хвилі введено В.Гамільтоном в 1839 році. В подальшому його розвивали Г. Стокс, Дж. Релей, А. Зомерфельд, Л. Брюллюєн.
Розглянемо випадок . Тоді, згідно (2.4), . Властивість хвиль групуватись в пакети покажемо на прикладі двох монохроматичних хвиль , де . Отже, надамо додатного та від'ємного приросту хвильовому числу і знайдемо суперпозицію цих хвиль. Для частоти маємо
або
.
Для фази маємо
.
Тоді розв'язок має вигляд
Суперпозиція цих розв'язків дає
(2.5)
З (2.5) випливає, що початкова хвиля з несучою частотою по амплітуді модульована обвідною з подвоєною амплітудою Отже, картина розподілу амплітуди переміщується в просторі з груповою швидкістю. Вищевикладений вивід, що виражає рух хвильового пакету без зміни форми, є наближеним і пов'язаний з припущенням про малість приросту . Взагалі ж кажучи, хвильовий пакет під час свого поширення "розмазується" і частина простору, в якій він міститься, розширюється.
Виразимо групову швидкість через с і . Для цього достатньо продиференціювати складну функцію
.
Звідки одержуємо
(2.6)
Отже, розглянуто базові поняття хвильової теорії та одержано основні співвідношення, що характеризують хвильовий рух.
2.2. Рівняння руху рідини
Уявлення про рідину, як про суцільне середовище, дозволило розглядати фізико-механічні характеристики рідини, що рухається, як функції координат x, y, z, та часу t. Такими характеристиками є швидкість тиск та густина . Задання вектора швидкості, тиску та густини визначає стан рідини, що рухається. Замість тиску та густини може бути заданою інша пара термодинамічних величин, оскільки, знаючи їх та застосувючи рівняння стану, можна знайти всі термодинамічні характеристики. Нехай елемент об'єму рідини рухається з прискоренням під дією застосованих до нього масових сил та поверхневих сил . Для всього об'єму відповідно до другого закону Ньютона справедливе таке рівняння
. (2.7)
У випадку ідеальної рідини вектор гідродинамічного тиску направлено по внутрішній нормалі до поверхні
, (2.8)
де - орт зовнішньої нормалі до s. Рівняння (2.7) дл