РОЗДІЛ 2
ГЕОМЕТРООПТИЧНИЙ АНАЛІЗ ПОШИРЕННЯ СВІТЛА В ПЛЕЧІ РОЗ’ЮСТИРОВАНОГО РЕЗОНАТОРА
ЛАЗЕРНОГО ГІРОСКОПА
В даному розділі проводиться геометрооптичний аналіз поширення світла через всі
оптичні елементи, що розташовані в плечі роз’юстированого резонатора ЛГ.
Узагальнена розрахункова схема плеча зображена на рис. 2.1.
Кінцевим результатом такого аналізу мають бути математичні співвідношення, які
зв’язують між собою лінійні поперечні та кутові координати осьового контуру на
вході в сусідні дзеркала розглядуваного плеча. Отримані співвідношення, в свою
чергу, будуть використані в третьому розділі – при розв’язанні комплексної
задачі геометрооптичної побудови осьового контуру в роз’юстированому резонаторі
ЛГ.
2.1. Відбивання світла від вхідного дзеркала
В позначеннях, прийнятих на рис. 2.1, закон відбивання світла від дзеркала має
[4, стор.19] вигляд
, (2.1)
де та – відповідно одиничні направляючі вектори осьового контуру в -му та ()-му
плечах резонатора ЛГ; – орт, нормальний до відбиваючої поверхні дзеркала в
точці зустрічі з нею осьового контуру.
Задамо орієнтацію вектора в базисі . Для цього розглянемо базис , орт котрого
співпадає з вектором . Орієнтацію базису відносно базису задамо за допомогою
двох малих кутів. Перший поворот – на кут – здійснимо навколо орта проти
напрямку руху годинникової стрілки. Матриця направляючих косинусів між ортами
, , та ортами , , допоміжного базису в першому порядку по має вигляд
(2.2)
.
Другий поворот – на кут – здійснимо навколо орта в напрямку руху годинникової
стрілки. Матриця направляючих косинусів між ортами , , допоміжного базису та
ортами , , в першому порядку по має вигляд
(2.3)
.
На підставі (2.2) і (2.3), результуючу матрицю між ортами , , та , , , можна
записати так:
(2.4)
,
звідки
,
, (2.5)
.
Направляючий вектор осьового контуру співпадає з ортом . Тому, на підставі
останнього рядка (2.5),
. (2.6)
В цьому виразі параметри та являють собою малі кути нахилу вектора відносно осі
резонатора , які відліковуються відповідно в осьовій та сагітальній площинах.
Аналогічно (2.6), запишемо вираз для направляючого вектора в базисі :
. (2.7)
Тут та – малі кути нахилу вектора відносно осі резонатора .
Аналогічно (2.5),
,
, (2.8)
.
Для того, щоб скористатись формулою (2.1), необхідно отримати вираз для орта .
Згідно з рис. 2.1
, (2.9)
звідки
. (2.10)
У співвідношення (2.10) входить орт , який являє собою нормаль до відбиваючої
поверхні дзеркала в його центрі . Орієнтацію цього орта задамо в базисі . Для
цього розглянемо базис , зв’язаний з поверхнею дзеркала . Базис має початок в
точці . Його орт співпадає з вектором . Орієнтацію базису відносно базису
задамо за допомогою двох малих кутів. Перший поворот – на кут – здійснимо
навколо орта проти напрямку руху годинникової стрілки. Матриця направляючих
косинусів між ортами , , та ортами , , допоміжного базису в першому порядку по
має вигляд
(2.11)
.
Другий поворот – на кут – здійснимо навколо орта також проти напрямку руху
годинникової стрілки. Матриця направляючих косинусів між ортами , ,
допоміжного базису та ортами , , в першому порядку по має вигляд
(2.12)
.
Тоді, на підставі (2.11) і (2.12), результуючу матрицю між ортами , , та , ,
можна записати як
(2.13)
,
звідки
,
, (2.14)
.
Орт співпадає з ортом . Тому, на підставі першого рядка (2.14),
. (2.15)
Розглянемо тепер другу складову у співвідношенні (2.10). Згідно з рис. 2.1
. (2.16)
Задамо вектори та у вигляді
, (2.17)
. (2.18)
Тоді, з урахуванням (2.10), (2.16)–(2.18),
. (2.19)
Подамо всі складові цього виразу в базисі . Згідно з рис. 2.1
,
, (2.20)
.
Після підстановки (2.20) в (2.19)
. (2.21)
З урахуванням (2.6) та (2.21),
. (2.22)
Звідси, у відповідності до (2.21),
(2.23)
.
Подамо тепер вектор в базисі . Згідно з рис. 2.1
,
, (2.24)
.
Після підстановки (2.24) в (2.23)
(2.25)
Направляючий вектор в базисі подано виразом (2.6). В базисі цей вектор, з
урахуванням (2.24), має вигляд
. (2.26)
Після підстановки (2.7), (2.25), (2.26) у векторну рівність (2.1) і аналізу
проекцій на орти базису матимемо