РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ І МОДЕЛІ ПРИ ДОСЛІДЖЕННІ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ ЦИЛІНДРИЧНИХ БАКІВ ОБПРИСКУВАЧІВ
2.1. Модель кріплення циліндричних баків за допомогою бандажів
Напружено-деформований стан циліндричних баків сільськогосподарських обприскувачів чи інших машин для хімзахисту, які однією із основних складових одиниць мають циліндричні резервуари, які обперті на ложементи, виникає внаслідок складного виду навантаження. Складність такого навантаження полягає у його різновекторності та величині локалізації. В цьому розділі буде розглядатися один із найскладніших варіантів такого навантаження. При розв'язку поставленої задачі циліндричний резервуар буде навантажуватися контактним тиском від дії бандажів, внутрішнім надлишковим тиском, тиском від ваги рідини, яка транспортується з врахуванням динамічних сил та контактним тиском опор. Кожна складова такого багатогранного навантаження буде описуватися рядом математичних моделей, які наближатимуть змодельоване навантаження до реального в кожному конкретному випадку.
Математичне моделювання дії бандажів посідає важливе місці в загальній процедурі формування загального навантаження на обичайку бака. В залежності від геометричних розмірів самого бандажа та способу його затягування можна створювати ряд моделей, які б описували цей контактний тиск.
Розглянемо декілька моделей даного процесу.
Вважаємо, що бандаж взаємодіє з резервуаром вздовж смуги [8,9,136,137,141,148], ширина якої і довжина , рис. 2.1.
Рис. 2.1. Розрахункова схема дії бандажа на обичайку бака
Силу натягу бандажа і закон розподілу контактного тиску задаємо. При цьому розглядаємо випадки, коли контактний тиск постійний за тангенціальною координатою (або змінюється за - законом) і змінюється за гіперболічною косинусоїдою за лінійною координатою (або постійний).
Опис контактного тиску між бандажем і резервуаром функцією, що змінюється за гіперболічним косинусом на ширині бандажа і постійний по довжині.
Контактний тиск задаємо у вигляді функціональної залежності
, (2.1)
де - локальна координата ();
- задана величина;
- невідомий коефіцієнт.
Проектуючи на вертикальну вісь зусилля [154,166], що діють на бандаж (за умови симетричності відносно цієї осі навантаження), одержимо
,
або
,
звідки
.
З цієї формули знайдемо вираз сталої і, відповідно, формулу контактного тиску (додаток А)
, (2.2)
тут , .
Максимальне значення контактного тиску досягається на краях смуги контакту при і дорівнює
.
Якщо контактний тиск сталий по ширині, то переходячи до границі в (2.2) при , одержимо
.
Моделювання дії бандажа з резервуаром функцією, що змінюється за гіперболічним косинусом на ширині бандажа і тригонометричним косинусом по довжині.
Для випадку бандажа малої довжини () доцільно моделювати зміну контактного тиску за тригонометричним косинусом
, (2.3)
(, ).
Тут аргументи тригонометричної функції підібрано з умови
.
Проектуючи на вертикальну вісь зусилля, що діють на бандаж, одержимо
Рис. 2.2. Розрахункова схема дії бандажа малої довжини
,
,
,
,
,
,
,
,
Звідки
.
Формула контактного тиску (2.3) набуде вигляду (додаток А)
, (2.4)
(, ).
Якщо , то формула (2.4) матиме вигляд
.
Максимальне значення контактного тиску досягнеться у точках (, ) і дорівнює
.
Моделювання взаємодії бандажа з резервуаром сталим контактним тиском. Вважаємо, що контактний тиск є сталою величиною в області контакту (на смузі шириною і довжиною ), рис. 2.1,
, (2.5)
(, ).
Проектуючи сили, що діють на бандаж, на вертикальну вісь, одержимо
,
,
,
звідки
.
Для контактного тиску одержимо з (2.5) такий вираз (додаток А)
, (2.6)
(, ).
Моделювання взаємодії бандажа з резервуаром функцією, що є сталою за осьовою і змінною за тангенціальною координатами. Для контактного тиску маємо такий вираз, рис. 2.2
, (2.7)
(, ).
Проектуючи зусилля, що діють на бандаж, на вертикальну вісь, одержимо
.
Звідси
і, відповідно, вираз контактного тиску (додаток А)
, (2.8)
(, ).
Розвинення функцій, що описують контактний тиск між бандажем і оболонкою в тригонометричні ряди. Знайдемо розвинення функцій (2.2), (2.4), (2.6) і (2.8) в ряди тригонометричними системами функцій. Вважаємо, що циліндричний резервуар довжини і радіуса навантажено двома симетрично розміщеними бандажами. Серединні лінії бандажів знаходяться на відстані від країв резервуара, рис. 2.3.
Рис. 2.3. До питання розвинення функцій, що описують контактний тиск між бандажем і оболонкою в тригонометричні ряди
Розглядаємо, внаслідок симетричності, тільки половину циліндричної оболонки. Відповідна область серединної поверхні оболонки така , де . Навантаження на резервуар при взаємодії з бандажами описується функцією
(2.9)
де ,
.
Шарнірному обпиранню симетрично навантаженої (відносно площини, що проходить через вісь циліндра) замкненої циліндричної оболонки відповідає розвинення в ряд
або, якщо врахувати рівність і ,
, (2.10)
де
, ;
або
- коефіцієнт Фур'є функції .
Врахувавши тут (2.9) матимемо
(2.11)
Для випадку зображення контактного тиску у вигляді (2.2) матимемо
,
або
,
Обчислюємо окремо :
,
де
.
Таким чином ряд (2.10) можна записати у вигляді:
(2.12)