РОЗДІЛ 2
ГЕОМЕТРИЧНО НЕЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ДЕФОРМУВАННЯ ОБОЛОНОК СТУПІНЧАТО-ЗМІННОЇ ТОВЩИНИ ПРИ ТЕРМОСИЛОВИХ НАВАНТАЖЕННЯХ
2.1. Вихідні передумови методики
Визначимо основні вихідні положення, на яких базується методика дослідження напружено-деформованого стану, стійкості та позакритичної поведінки тонких оболонок як тривимірних тіл складної форми у процесах навантаження зовнішніми силами та нерівномірним об'ємним нагрівом.
Під оболонками складної форми розуміємо оболонки, які мають складну форму серединної поверхні та геометричні особливості за товщиною (рис. 2.1). Присутність в оболонці геометричних особливостей за товщиною пов'язана з:
1) необхідністю підвищення жорсткості, раціонального розподілу матеріалу та запобігання втрати стійкості гнучких оболонок, що проектуються;
2) наявністю технологічних конструктивних особливостей таких, як отвори, виїмки, зломи серединної поверхні оболонки.
Для виконання першої вимоги оболонки підкріплюються ребрами, накладками, проектуються змінної товщини. У другому випадку особливості є заданими і тому повинні обов'язково враховуватись у розрахункових моделях.
Звичайно при розрахунках застосовують теорії, що розроблені для часткового класу оболонок відповідної геометрії, наприклад для: оболонок канонічних форм серединної поверхні (циліндричної, конічної, сферичної, тороїдальної та т.п.), оболонок змінної товщини, ребристих оболонок, оболонок з отворами, оболонок з виїмками та інших. З кожним видом геометричної особливості пов'язані особливості у напружено-деформованому стані та втраті стійкості, що потребує відображення у розв'язувальних рівняннях відповідної
Рис. 2.1. Фрагмент скінченноелементної моделі оболонки
ступінчато-змінної товщини
Рис. 2.2. Глобальна декартова та місцева криволінійна системи координат
теорії оболонок. Одночасне врахування геометричних особливостей різного типу призводить до необхідності розробки розрахункових методик, що призначені для оболонок більш загального виду, які об'єднуються загальною назвою оболонки зі змінними геометричними параметрами за товщиною.
Для практики проектування важливе значення має розробка з єдиних методологічних положень загальних методів розрахунку оболонкових конструкцій складної геометричної форми. Одним із найбільш ефективних підходів для цього є побудова методики дослідження з позицій тривимірної теорії термопружності. Тому в роботі прийнятий тривимірний підхід до розробки методики дослідження нелінійних задач стійкості тонких оболонок загального типу зі складною геометрією.
У роботі дослідження процесів нелінійного деформування оболонок базується на загальній лагранжевій постановці варіаційної задачі у приростах [20,21,24,32]. Такий підхід дозволяє ще на початку побудови методики виконати дискретизацію континуальної оболонки, застосувавши метод скінченних елементів. МСЕ є ефективним та широко розповсюдженим методом вирішення задач будівельної механіки для складних оболонкових конструкцій при дії навантажень різної природи.
У теперішній час у методі скінченних елементів все більший розвиток знаходять підходи, що дозволяють досліджувати широкий клас оболонкових конструкцій на основі універсальних скінченноелементних моделей [11,32,119, 122]. Одним з таких підходів, що застосований у роботі, є апроксимація тонких оболонок одним просторовим скінченним елементом за товщиною [32,35,56,59, 86,102,115,122,129,153,168,188]. Представлення оболонок з позицій тривимірної теорії термопружності та відмова від використання класичних гіпотез теорії оболонок відносно геометрії та напружено-деформованого стану дає змогу суттєво розширити коло об'єктів дослідження.
Для тонкої оболонки характерним є лінійний розподіл переміщень вздовж товщини [132]. Тому у роботі прийнята як достатня апроксимація оболонки за товщиною одним ізопараметричним скінченним елементом з полілінійним законом розподілу координат і переміщень за його об'ємом [17,21,27,28]. Існує досвід застосування такого підходу до розв'язання задач статики, стійкості та динаміки однорідних оболонок при дії силових навантажень [76,89,98,102,122, 146,157]. Отримані результати довели ефективність цього напрямку досліджень. Тому в монографіях та навчальних посібниках [32,50,59,121,122] такий підхід рекомендується для широкого використання.
Прийнятий для ізопараметричного скінченного елемента оболонки лінійний розподіл координат і переміщень вздовж товщини відповідає використовуємій у роботі некласичній гіпотезі деформівної прямої [20]. За цією гіпотезою пряма, яка у напрямку товщини оболонки є прямою до деформування, залишається прямою і після деформування, скорочуючись або подовжуючись при цьому. Ця пряма не обов'язково є нормаллю до серединної поверхні оболонки. Вона напрямлена вздовж осі місцевої системи координат скінченноелементної моделі оболонки (рис. 2.1 та рис. 2.2).
Прийняті вздовж товщини скінченного елемента оболонки лінійні апроксимації координат і переміщень дозволяють розповсюдити методику розрахунку гладкої оболонки на оболонки з наведеними вище геометричними особливостями. Для цього використовується поданий у роботах [122,164,165] спосіб лінійного перетворення координат вузлів просторового СЕ за допомогою введення двох типів додаткових параметрів. Перший тип параметрів СЕ призначений для збільшення або зменшення його розмірів в напрямку товщини, другий - для зсуву в тому ж напрямку його серединної поверхні. Отже, один і той же скінченний елемент у рамках лінійних апроксимацій може описувати геометрію різних ділянок оболонки (обшивка, ребра, виїмки та інше). Введені параметри дозволяють виконувати також опис кінематичних властивостей та напружено-деформованого стану ділянок ступінчато-змінної товщини оболонки за допомогою одних і тих же співвідношень з позицій єдиного тривимірного СЕ. При цьому зберігається неперервність функцій координат і переміщень на
криволінійних поверхнях прилягання суміжн