Розділ 2
ТОПОЛОГІЧНІ РЕАКЦІЇ В ОПТИЧНИХ ПУЧКАХ З КРАЙОВИМИ ДИСЛОКАЦІЯМИ ХВИЛЬОВОГО ФРОНТУ
Вступ
Оптичний пучок, що містить у собі гвинтову або крайову дислокацію хвильового фронту, може бути утворений шляхом інтерференції двох (чи більшої кількості) несингулярних світлових хвиль. Для цього потрібно, щоб у деяких точках амплітуди хвиль були рівні, а їх фази відрізнялись на ?, тобто хвилі були у протифазі. Амплітуда сумарної хвилі у цих точках завдяки деструктивній інтерференції буде дорівнювати нулю. Такі точки будуть утворювати лінії нульової амплітуди, навколо яких може здійснюватись циркуляція світлового потоку. Таким чином, в інтерференційному полі виникають лінії дислокації хвильового фронту.
У роботі [61] було розглянуто утворення кільцевої крайової дислокації при інтерференції двох гаусових пучків. Деструктивна інтерференція співвісних пучків призводить до появи кільця нульової амплітуди, радіус та положення якого визначаються відносними амплітудами та фазами пучків. Показане виникнення тороїдального руху частини світлового потоку навколо лінії кільцевої дислокації, що являє собою поперечний оптичний вихор.
У даній роботі розглядається випадок співвісної інтерференції двовимірних (2D) пучків, який здебільшого аналогічний до трьохвимірного (3D). У цьому випадку замість кільцевої дислокації утворюються дві паралельні "чорні" лінії, навколо яких локалізовані поперечні оптичні вихори. Мета полягала у тому, щоб детально дослідити поведінку поперечного ОВ при зміні параметрів складових пучків та топологічні реакції, що відбуваються при зіткненні топологічних об'єктів, якими є вихори та фазові сідла. Топологічні реакції, такі як колапс вихорів і фазових сідел, а також розгортання вихра, були вперше розглянуті у роботах [62-63] для іншого виду хвиль (не електромагнітних). Важливо було показати, що аналогічні реакції мають місце і в оптичних пучках.
Двовимірні (циліндричні) хвилі були вибрані не випадково. Як вже говорилось у першому розділі, гаусові хвилі крім поперечних компонент поляризації мають ще поздовжні компоненти електричного та магнітного поля, що визначаються формулами (1.18), (1.19). Хоча ці поздовжні компоненти є малими, у порівнянні з поперечними, ми не завжди маємо право знехтувати ними. У деяких випадках (наприклад, при обчисленні розподілу вектора Пойнтинга) вони мають принципове значення. Поляризація двовимірних пучків може бути чисто поперечною, тому для них не треба робити ніяких додаткових припущень. У той же час результати, що отримані у випадку 2D пучків, будуть справедливі і для звичайних трьохвимірних пучків, тому що реакції підлягають єдиним топологічним законам.
Всі світлові хвилі, що розглядаються у даному розділі, ми вважаємо монохроматичними з однаковою частотою . Далі в усіх рівняннях будемо опускати фазовий множник , що містить частоту хвилі, і проводити розрахунки з комплексними амплітудами.
2.1 Утворення крайових дислокацій в інтерференційному полі двовимірних гаусових пучків
Розглянемо інтерференцію двох когерентних співвісних 2D гаусових пучків зі спільною площиною перетяжки. Двовимірні хвилі відрізняються від звичайних трьохвимірних тим, що їх розподіли амплітуди та фази не залежать від однієї з поперечних координат (у даному випадку від координати y). Хвильові фронти 2D гаусового пучка, що схематично зображені на рис.2.1, виглядають як циліндричні поверхні.
Рис. 2.1. Схематичний вигляд 2D гаусового пучка, перетяжка якого знаходиться у площині z = 0.
Обидва пучки поляризовані вздовж осі Y та розповсюджуються у напрямку осі Z, з дифракційним розходженням по координаті x. Комплексна амплітуда цих пучків виглядає наступним чином:
(2.1),
де EG ? амплітудний параметр, w0 ? параметр перетяжки, k ? хвильове число, zR ? релеєвська довжина, zR = kw02/2, R(z) ? радіус кривини хвильового фронту в площині XZ, w - характерна ширина пучка на відстані z від перетяжки, w = w0(1+z2/zR2)1/2, Ф ? постійний набіг фази. Формула (2.1) схожа на опис трьохвимірного гаусового пучка, за виключенням амплітудного множника (w0/w)1/2, замість (w0/w) для 3D пучка, а також коефіцієнту 1/2 перед arctan(z/zR), що відповідає за фазовий зсув Гуі. Було перевірено, що є рішенням хвильового рівняння у параксіальному наближенні. Це означає, що такий пучок може існувати у вільному просторі.
Для того, щоб отримати пару крайових дислокацій у площині z = 0, створимо суперпозицію двох таких пучків із різними амплітудними параметрами E1 > E2 , параметрами перетяжки w2 > w1 та зсувом ? між їхніми фазами. Сумарне поле у спільній площині перетяжки пучків визначається згідно наступному виразу:
(2.2)
У цій площині обидві хвилі мають плоский хвильовий фронт, а їх фази задовольняють умові Ф1 = Ф2 + ?. Таким чином, здійснюється деструктивна інтерференція хвиль, як показано на рис.2.2a. На картині розподілу амплітуди сумарного пучка у площині перетяжки (рис.2.2b) ми бачимо дві паралельні чорні лінії ? крайові дислокації. Положення дислокацій (нулів амплітуди поля) визначається як
(2.3)
За межами площини перетяжки фазова умова деструктивної інтерференції порушується, тому утворені дислокації є саме лініями, а не поверхнями.
Для подальшого аналізу визначимо відношення амплітудних параметрів пучків як керуючий параметр ? (? = E2/E1). Щоб дослідити структуру хвильового фронту поблизу перетяжки та поведінку фази навколо "чорної" лінії, треба обчислити інтерференційне поле як суму двох комплексних амплітуд E(x,z) = E1(x,z)+E2(x,z) і потім знайти результуючу фазу Ф(x,z):
(2.4)
Таким чином, рівняння для сім'ї хвильових фронтів Ф(x,z) = 0, ?2?, ?4?, ... може бути отримане як Im[E(x,z)] = 0. Профілі цих хвильових фронтів зображені на рис.2.2с при ? = 0.83, w1 =10, w2=100, Ф1 = 1 (тут і далі всі величини нормовані умовою k = 1). На цьому рисун