ГЛАВА 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПЬЕЗОМАГНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ЧИСЛА ОБОРОТОВ
В главе 1 было показано, что пьезомагнитные преобразователи обладают рядом достоинств. Однако отсутствие теоретических исследований, математических моделей и характеристик данного типа преобразователей негативно сказывается на их широком распространении.
В данном разделе исследуем частотные и временные характеристики пьезомагнитных преобразователей, а также определим влияние форм и геометрических размеров постоянных магнитов на уровень их выходного сигнала.
2.1. Амплитудно-частотные и переходные характеристики пьезомагнитных преобразователей
Для исследования временных и частотных характеристик пьезомагнитного преобразователя воспользуемся схемой, представленной на рис. 2.1 [62].
Рис. 2.1. Пьезомагнитный преобразователь числа оборотов
На валу исследуемого механизма закреплен постоянный магнит М1. На статоре С закреплен пьезоэлемент ПЭ с двумя электродами, к которому прикреплен постоянный магнит М2. При вращении вала постоянный магнит М1 при каждом обороте проходит вблизи неподвижно установленного магнита М2. При этом магниты, притягиваясь (или отталкиваясь) воздействуют на пьезоэлемент ПЭ, вызывая его деформацию. Это приводит к появлению напряжения UПЭ на электродах пьезоэлемента. Причем при приближении магнитов на пьезоэлементе генерируется сигнал одного знака, при удалении - другого (рис.2.2, а). При изменении полярности одного из магнитов изменяются и полярности импульсов выходного сигнала (рис. 2.2, б).
Как видно из рис.2.2, на осциллограммах отсутствует характерный для пьезоэлементов переходной процесс, представляющий собой затухающие по экспоненте колебания [13, 68].
Рис. 2.2. Выходные сигналы пьезомагнитного преобразователя
Для объяснения этого построим модель пьезомагнитного преобразователя числа оборотов [62] (рис. 2.3) с помощью методов теории автоматического управления [21, 24, 69].
Рис. 2.3 Структурная схема пьезомагнитного датчика тахометра
Здесь звену k1 соответствует преобразование частоты n вращения вала в изменение расстояния между магнитами l(t).
Из рис. 2.1., б видно, что искомая величина l(t) равна:
(2.1)
где x(t) = 2rsin(?/2), ? = kt, k = 2?n.
Тогда
. (2.2)
Звено k2 описывает изменение проницаемости формы воздушного зазора m при изменении расстояния между магнитами l.
Величина m зависит только от формы воздушного промежутка. Расчет проводимости т наиболее удобен для промежутка в форме эллипсоида. Для форм отличных от эллипсоида расчет ведется по эмпирическим формулам или графикам [9, 11, 48, 52].
Так, например, для промежутка в виде стержня [48]
, (2.3)
где , S - площадь поперечного сечения промежутка (магнита).
На рис. 2.4. приведены результаты расчета m для стержневого воздушного промежутка [62].
Рис. 2.4. Проницаемость формы стержневого воздушного промежутка
Как видно из рис. 2.4, зависимость проницаемости т от величины l можно, с некоторым приближением, считать линейной, т.е. звено k2 является безынерционным.
Звено k3 соответствует преобразованию изменения величины m в силу взаимодействия между магнитами FМ, которая может быть определена по формуле [9, 52]
, (2.4)
где ?0 - магнитная постоянная (?0 = 4??10-7 Гн/м), В - магнитная индукция (Тл), ? - коэффициент возврата (Гн/м), lM - толщина магнита.
Определение передаточной функции звена k3 требует нахождения изображения по Лапласу сложной функции
L[F(l)] = L[f(l)?m/(l)], (2.5)
где f(l) = ?
Определим тип звена k3 по расчетной зависимости FМ от магнитной проницаемости воздушного зазора т(l), которая показана на рис. 2.5 [62].
Рис. 2.5. Зависимость магнитной силы FМ от величины т(l)
Расчеты производились по методике [48] для дисковых магнитов диаметром 5 и толщиной 3 мм, ? = 5?10-6 Гн/м, В = 0,1 Тл.
Как видно из рис. 2.5, звено k3 является дифференцирующим инерционным звеном [21, 24, 69].
Передаточная функция и переходная характеристика такого звена описываются выражениями
, (2.6)
. (2.7)
Звено k4 соответствует преобразованию силы взаимодействия между магнитами FМ в силу, которая создает давление в пьезоэлементе. Если магнит рассматривать как несжимаемое тело, которое без искажений передает силу FМ, то эквивалентная механическая модель звена k4 будет иметь вид, изображенный на рис.2.6.
Рис. 2.6. Эквивалентная механическая модель звена k4
Здесь mПЭ - масса пьезоэлемента, KПЭ - упругость материала пьезоэлемента, RПЭ - потери в пьезоэлементе.
Используя метод электромеханических аналогий [24], эквивалентная механическая модель по рис. 2.6 может быть преобразована в эквивалентную электрическую схему, изображенную на рис. 2.7.
Уравнение движения такой системы, связывающей напряжение на конденсаторе Uс (эквивалент силы FП) с входным сигналом Uвх (эквивалент силы FM) будет иметь вид
. (2.8)
Рис. 2.7. Эквивалентная электрическая схема звена k4
Введем обозначения: CL = , RC = T1, Uс(t) = y(t), Uвх(t) = kx(t). Тогда уравнение (2.8) при переходе в лапласовое пространство примет вид
p2Y(p) + T1pY(p) + Y(p) = kX(p). (2.9)
Откуда:
. (2.10)
Выражение (2.10) является передаточной функцией инерционного (апериодического) звена второго порядка.
Переходная характеристика такого звена описывается выражением [21]
, (2.11)
где и показана на рис