Глава 2
Постановка задачи
2.1. Основные уравнения
В настоящей работе исследуются электродинамические свойства структуры,
состоящей из слоисто-периодической среды (периодически повторяющихся слоев
полупроводника и диэлектрика, имеющих диэлектрические проницаемости e1 и e2 и
толщины d1 и d2) и однородного плазмоподобного полупространства. Границы слоев
полупроводника и диэлектрика параллельны границе раздела периодической среды и
плазмоподобного полупространства. Геометрия структуры представлена на
рис. 2.1.
Система координат расположена таким образом (рис. 2.1), что ось Oz направлена
перпендикулярно слоям слоисто-периодической структуры, а оси Ox и Oy —
параллельно слоям. Начало системы координат расположено на границе однородного
полупространства и слоисто-периодической среды, причем однородное
полупространство находится при z < 0. Поскольку исследуемые нами структуры
являются однородными в плоскостях, параллельных плоскости xОy, то рассмотрим
плоскую задачу, положив , (т.е. распространение электромагнитных волн
происходит в плоскости x0z).
Электродинамические процессы в данной структуре будем исследовать при наличии
движущихся носителей заряда. Движение частиц предполагается в однородном
плазмоподобном пространстве вдоль границы слоисто-периодической среды ()
(рис. 2.1).
Для анализа периодической структуры необходимо определить электродинамические
параметры слоисто-периодической среды. Их можно получить, рассмотрев
безграничную слоисто-периодическую структуру. Воспользуемся уравнениями
Максвелла
Рис. 2.1. Схематическое представление структуры, состоящей из однородного
плазмоподобного полупространства (3) и периодически повторяющихся слоев
полупроводника (1) и диэлектрика (2).
(2.1)
и материальными уравнениями, которые при зависимости от времени, будут иметь
вид
которые запишем для слоев полупроводника и диэлектрика (n = 0, j = 0).
Так как в настоящей работе исследуются структуры, состоящие из немагнитных
материалов, то =1 и B = H.
Тензор диэлектрической проницаемости полупроводника определяется из уравнения
непрерывности и уравнения движения заряда. При отсутствии дрейфующих носителей
заряда эти уравнения имеют вид:
, , (2.2)
где – равновесная концентрация носителей,
e — заряд носителей (знак заряда учитывается в каждом конкретном случае),
— переменная концентрация носителей,
— переменная скорость носителей,
— эффективная частота столкновений носителей заряда,
m — эффективная масса носителей.
Получаем, что для тензора недиагональные элементы , а диагональные равны
, (2.3)
где e0 – диэлектрическая проницаемость решетки полупроводника;
– квадрат ленгмюровской частоты. В данной работе предполагается, что все
переменные величины пропорциональны exp(?iwt+ikzz+ikxx).
При рассмотрении плоской задачи уравнения Максвелла для полупроводниковых и
диэлектрических слоев разделяются на две системы уравнений для E- и
H-поляризаций. В дальнейшем нас будет интересовать H-поляризация [1 Для
обыкновенной волны (то есть для E-поляризации) все результаты, полученные во
второй главе, также будут справедливы.], то есть поляризация волны с отличными
от нуля компонентами поля Ex, Ez, Hy (так называемая необыкновенная волна)
[66]. Системы уравнений, описывающих необыкновенную волну, распространяющуюся в
безграничной слоисто-периодической структуре, имеют вид:
для полупроводниковых слоев (1)
для диэлектрических слоев (2)
(2.4)
Зависимость полей Е и D от координаты z представим в виде суммы прямой и
обратной волн в каждом из слоев:
(2.5)
(2.6)
где , (i, k = 1, 2) — коэффициенты, которые могут быть найдены из граничных
условий и уравнений Максвелла. — поперечные волновые числа.
Связь между полями на границах z=0 , z=d1 слоисто-периодической структуры
запишем в виде:
, (2.7)
где – квадратная матрица 2-го порядка.
Найдем компоненты матрицы . Из уравнений (2.4) имеем:
. (2.8)
Тогда для полей из (2.5) получим
(2.9)
Представим поля с помощью их значений в начале слоев (z=0 и z=d1). Для этого
положим z=0 и z=d1 в (2.9) и выразим коэффициенты Dik через значения полей в
начале слоев, затем подставим полученные выражения для Dik в (2.9), записав в
матричном виде. Приведем результат для первого слоя:
.
Получим матрицу преобразования первого слоя , обращая полученные матрицы для
связи полей не границе первого слоя:
; (2.10)
для второго слоя имеем
. (2.11)
Учтем непрерывность тангенциальных составляющих полей Е и D на границе 1?го и
2-го слоев (z=d1):
(2.12)
Тогда получим связь для полей на границах слоев, отстоящих на период структуры:
, (2.13)
где = и d=d1+d2. Используя (2.10) и (2.11), найдем элементы матрицы
преобразования , которая связывает поля в начале первого слоя (при z=0) с
полями в конце второго слоя (при z=d):
(2.14)
Учтем трансляционную симметрию безграничной структуры. Это можно сделать с
помощью теоремы Флоке, которая утверждает, что поля в точках, разнесенных на
период структуры, отличаются множителем, модуль которого равен 1, т.е.
(2.15)
По аналогии с периодической решеткой твердого тела будем величину называть
блоховским волновым числом.
Подставив соотношение (2.15) в выражения (2.13), получим однородную систему
уравнений относительно величин и
(2.16)
Нетривиальное решение (2.16) возможно, если определитель системы равен нулю,
т.е.:
(2.17)
Выше (см. выражения 2.15) была введена величина , которая отражает
периодичность структуры. Для выяснения ее физического смысла сделаем предельный
переход от периодической среды к однородной. Для этого произведем зам
- Київ+380960830922