РАЗДЕЛ 2
Рассеяние электромагнитных волн на решетке из магнитодиэлектрических
косоугольных параллелепипедов
В данном разделе решается задача рассеяния плоской линейно поляризованной волны
двоякопериодической решеткой, элементом которой является магнитодиэлектрический
параллелепипед. Эта задача является базовой, поскольку допускает обобщение на
задачи рассеяния для структур с практически любой функцией заполнения
периодической ячейки. Для решения задачи применяется численно-аналитический
метод на основе интегральных уравнений макроскопической электродинамики.
Однородный и изотропный материал параллелепипедов описывается комплексными
диэлектрической и магнитной проницаемостями.
Метод, развиваемый в диссертационной работе, несколько отличается от метода,
применявшегося в работах [2, 3, 28, 29, 27] для решения задач рассеяния волн на
плоских структурах, периодических в одном направлении. Отличие состоит в том,
что поле в структуре изначально представляется в виде разложения по
пространственным гармоникам, что дает возможность аналитически выразить
объемные интегралы, входящие в уравнения, через одинарные интегралы. Затем
исходные интегро-дифференциальные уравнения при помощи проекционной схемы
сводятся к системе дифференциальных уравнений относительно функционалов поля.
При таком подходе эти функционалы представляют собой одинарный интеграл,
зависящий только от переменной z, в то время как в упомянутых работах о
рассеянии на однопериодических структурах функционалы связывали в одном сложном
интегральном выражении компоненту внутреннего поля с функцией, описывающей
геометрию периода.
В разделе получено решение задачи, которое дает возможность исследовать
компонент рассеянных полей в широком диапазоне соотношений величины периода
структуры и длины падающей волны. Даны примеры расчетов характеристик рассеяния
двоякопериодических решеток в зависимости от частотного параметра в диапазоне
длин волн, включающем резонансную область. Результаты сравниваются с некоторыми
известными данными.
Материалы раздела изложены в авторских публикациях [4, 7, 8].
2.1. Постановка задачи и ее решение
Рис. 2.1. Геометрия задачи рассеяния на двоякопериодической решетке из
магнитодиэлектрических параллелепипедов.
Задача формулируется следующим образом: из области z < 0 под произвольным углом
j на двоякопериодическую бесконечную решетку падает плоская линейно
поляризованная электромагнитная волна (рис.2.1). Будем рассматривать случай
перпендикулярной поляризации. Решетка расположена в неограниченном пространстве
с однородным и изотропным заполнением, характеризуемым проницаемостями и .
Элемент решетки представляет собой косоугольный параллелепипед с произвольными
размерами и вдоль осей и , и - периоды структуры вдоль соответствующих осей, b
- угол между осями и . Оси и лежат в плоскости X0Y. Относительные
диэлектрическая e и магнитная m проницаемости элемента решетки могут быть
комплексными. Толщина элемента решетки - h -. Угол a - это угол между осью ,
совпадающей с осью x, и вектором электрического поля , лежащим в плоскости
решетки. Будем рассматривать компоненты поля в ортогональной системе координат
(x, y, z) и получим выражения для прошедшего и отраженного поля.
2.1.1. Исходные соотношения. Для решения поставленной задачи будем использовать
интегральные уравнения макроскопической электродинамики в виде (1.1), заменив ,
. Примем, что в них и - напряженности падающего электромагнитного поля; - орты
прямоугольной системы координат (x, y, z), V - объем рассеивающей структуры, а
именно, бесконечной двоякопериодической решетки; G - функция Грина свободного
пространства, в интегральной форме она представляется в виде
; (2.1)
и - напряженности поля в точке наблюдения.
Сделаем замену , , что позволит свести решение задачи рассеяния волн
структурой, находящейся в среде, к решению задачи рассеяния на структуре,
находящейся в свободном пространстве. Будем искать векторные амплитуды
пространственного спектра дифрагированного поля. В общем случае, поле
дифракционной гармоники является шестикомпонентным: все шесть компонент
электромагнитного поля являются ненулевыми. Из интегральных уравнений (1.1)
можно получить шесть скалярных уравнений с указанными компонентами в левой
части. Приведем здесь для краткости только уравнение для компоненты :
(2.2)
Для остальных пяти компонент поля получаем аналогичные уравнения.
На первом этапе решения задачи найдем внутренние поля рассеивающей структуры,
считая, что точка наблюдения, заданная радиус-вектором , находится внутри
периодической структуры. В этом случае в уравнениях вида (2.2) слева и справа
под интегралами представлено одно и то же электрическое или магнитное поле, а
именно поле в области , и представления поля (1.1) превращаются в интегральные
уравнения, позволяющие найти это внутреннее поле через поле падающей волны.
Интегральные уравнения вида (2.2) являются сингулярными
интегро-дифференциальными уравнениями с особенностью в ядре. Процедура
выделения особенности описана в п. 2.1.2. При использовании для решения
исходных уравнений методов, требующих внесения операции двойного
дифференцирования под знак интеграла (например, сеточных методов), выделение
особенности обеспечивает получение устойчивого решения. В диссертации для
решения интегральных уравнений (2.2) используется проекционная схема. В этом
случае при разложении поля в структуре по пространственным гармоникам Флоке
интегралы берутся явно, и последующее их дифференцирование не вызывает проблем.
Однако,
- Київ+380960830922