РАЗДЕЛ 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭМИ КВЧ ДИАПАЗОНА
С СЕМЕНАМИ ЗЕРНОВЫХ КУЛЬТУР НЕПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ
122.1. Решение волнового уравнения для биологических объектов, форма которых
близка к правильной
Использование низкоэнергетических электромагнитных полей (ЭМП) СВЧ диапазона в
сельскохозяйственном производстве для предпосевной обработки семян, а также для
других целей требует проведения научных исследований их влияния на физические и
биологические процессы, которые протекают в этих биологических объектах.
Есть все основания предполагать, что одно из возможных влияний
электромагнитных полей на биологические ткани связано с изменением скорости и
характера протекания обменных процессов на клеточном уровне. Данный факт, как
показывают литературные данные, может стимулировать протекание обменных
процессов в элементах и тканях рассматриваемых объектов [70, 72, 77].
Но для детального исследования названых процессов необходимо знание характера
распределения амплитуд электромагнитных полей внутри рассматриваемых
биологических объектов, что само по себе является достаточно сложной задачей.
Это связано не только со сложной внутренней структурой любого биообъекта, но и
с отличием его геометрии от правильной формы (сфера, эллипсоид, цилиндр и
т.д.). В тех случаях, когда отличие невелико, возможно создание математической
модели, которая достаточно точно описывает распределение внутренних
электромагнитных полей.
Рассмотрим решение волнового уравнения, которое описывает внутренние
электромагнитные поля в биологическом объекте, несколько отличающемся от
правильной формы. В случае объекта, поперечное сечение которого близко к
круговому, но имеет некоторую деформацию, можно ограничиться рассмотрением
двумерной модели. Такая постановка задачи позволит выяснить смысл метода.
Пусть имеется деформированное поперечное сечение некоторого биологического
объекта, близкое к области с правильной формой , причем для последней
распределение электромагнитных полей считается известным. Будем искать решение
двумерного скалярного волнового уравнения
, 233
где – скалярный потенциал, который порождает электромагнитные поля в
поперечном сечении;
– собственные значения скалярного уравнения.
Введем переменные, которые мало отличаются от и [89 - 91]:
445
и выбраны так, чтобы область в координатах соответствовала области в переменных
. В выражении (2.2) функции и описывают характер искажений переменных и за счет
деформаций области , величина соответствует амплитуде этих искажений.
Следовательно, слагаемые, добавляемые к и в выражениях (2.2), компенсируют
имеющуюся деформацию и в новых переменных и делают область правильной.
Выразим из (2.2) переменные и через переменные и :
657
Используя правило дифференцирования сложных функций из теории функций
нескольких переменных [92], уравнение (2.1) можно записать в виде
, 869
где и – дифференциальные операторы, которые линейны относительно :
; 10711
. 12813
Чтобы решить уравнение (2.4), воспользуемся методом малых возмущений [93]. С
этой целью разложим функции и в степенные ряды по [92]. При этом уравнение
(2.4) приобретет вид:
, 14915
где – операторы, которые также линейны относительно .
Будем искать решение уравнения (2.7) в виде степенных рядов по параметру
малости [92]:
161017
Подставляя (2.8) в (2.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ,
получим следующую бесконечную систему уравнений:
181119
Уравнения (2.9), кроме первого, могут быть рассмотрены как уравнения
вынужденных колебаний при наличии резонанса, так как параметр является
собственным значением однородного уравнения. Необходимым и достаточным условием
существования конечных решений уравнений (2.9) является условие ортогональности
их правых частей и собственных функций [93].
Данное условие помогает определить величины , , … Действительно, из равенства
201221
следует, что
. 221323
Выражение (2.11) имеет место при следующем нормировании собственных функций :
. 241425
Далее, используя указанное выше условие ортогональности для третьего уравнения
системы (2.9):
, 261527
получаем
281629
и так далее.
В качестве иллюстрации предложенного метода рассмотрим область, близкую к
круговой. Уравнение контура этой области в полярных координатах будет иметь
вид:
. 301731
В новых переменных и :
321833
области будет соответствовать круг радиуса .
В этом случае, учитывая правило дифференцирования сложных функций, уравнение
(2.1) в полярной системе координат примет следующий вид:
341935
Учитывая форму зерен кукурузы, в первом приближении можно считать, что
отклонения границы деформированной двумерной области от круга подчиняются
синусоидальном закону, иначе говоря, границей является окружность, на которую
наложены малые синусоидальные колебания с амплитудой равной . Поэтому, в
последующих вычислениях примем,
362037
где – целое число.
Ограничимся определением собственной функции с точностью до слагаемого,
линейного относительно . Положим
382139
Тогда имеем
402241
Если ограничиться нижним значением для частоты собственных колебаний
поперечного сечения, то решение данного уравнения в выбранной системе
координат, как известно [93], дает
. 422343
где – функция Бесселя первого рода, нулевого порядка;
;
– первый корень функции .
Здесь константа определяется из условия нормировки (2.12):
442445
или
, 462547
где – функция Бесселя первого рода, первого порядка.
Соответственно, для имеем уравнение:
. 482649
Из уравнения (2.24) и условия (2.11) следует, что , и с уч
- Київ+380960830922