Ви є тут

Удосконалення методів комп'ютерного проектування калібровок і ресурсозберігаючих технологій штамповки і прокатки коліс

Автор: 
Снітко Сергій Олександрович
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2006
Артикул:
0406U003341
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССА
ШТАМПОВКИ КОЛЕСНЫХ ЗАГОТОВОК
Направления исследований в настоящем разделе связаны с изучением
закономерностей течения металла в процессе штамповки колесных заготовок,
имеющих обод, диск и ступицу, и разработкой на данной основе зависимостей для
оперативного расчета формоизменения металла и силы штамповки в формовочных
штампах.
2.1. Вывод дифференциального уравнения неустановившегося осесимметричного
течения металла в очаге деформации в цилиндрической системе координат
Теоретические исследования включают постановку краевой задачи ОМД и метод ее
решения. Они выполнены для анализа калибровок, связанного с проверкой принятого
при их разработке положения нейтральной линии, относительно которой при
штамповке колесных заготовок в формовочных штампах металл течет в обод и
ступицу. Рассмотрен осесимметричный очаг деформации со сложной границей, в
котором картина течения металла меняется во времени.
При разработке поля скоростей, необходимого для решения нестационарных
осесимметричных краевых задач ОМД, было принято, что металл с достаточной
степенью точности [76, 77, 80, 84] может рассматриваться как несжимаемая
линейно-вязкая сплошная среда, в процессе деформации которой отношение порядка
конвективных сил инерции к порядку сил вязкости очень мало. Принято также, что
поле скоростей не зависит от изменения температуры металла. Пренебрегая в
уравнении движения [134] инерционными членами (линеаризация по Стоксу [135]),
математическая модель среды определена следующей системой уравнений движения и
несжимаемости:
; (2.1)
, (2.2)
где – вектор скорости течения металла в очаге деформации, имеющий проекции в
цилиндрической системе координат;
- независимые пространственные переменные;
– время;
– плотность металла, ;
– скалярная функция, описывающая распределение давления;
– коэффициент кинематической вязкости, .
Полученную модель (2.1) – (2.2) дополним системой краевых условий:
, ; (2.3)
. 2.4)
Условия (2.3) – это начальные условия для поля скоростей при . Условие (2.4)
является граничным условием обтекания, которое состоит в том, что скорость
движения любой точки поверхности инструмента и скорость частицы металла ,
прилегающей в этой точке к инструменту, будут иметь одинаковые проекции на
нормаль к поверхности контакта .
Известно, что движение линейно-вязких сред является вихревым. Введем
обозначения для вектора
. (2.5)
Уравнение, дающее возможность количественного учета изменений с вихрями,
получено в работе [134] путем тождественных преобразований исходного уравнения
движения (2.1) с учетом условия несжимаемости (2.2)
. (2.6)
Примем, что в случае осесимметричного течения металла не зависят от полярного
угла , а составляющая вектора скорости, [76, 136]. Тогда система (2.6) дает
одно скалярное уравнение (так как )
. (2.7)
С учетом введенных допущений условие несжимаемости упрощается
. (2.8)
Введем дополнительную функцию , функцию тока, определяющую проекции скорости
таким образом, чтобы условие несжимаемости (2.8) удовлетворялось тождественно
[76, 136]
; (2.9)
. (2.10)
Настоящее позволяет найти проекцию , определенную выражением , в зависимости
от
. (2.11)
Подставляя (2.11) в дифференциальное уравнение (2.7), получим закон,
определяющий функцию и, соответственно, неразрывное поле скоростей при
неустановившемся осесимметричном течении металла в очаге деформации
. (2.12)
Функцию найдем в виде тригонометрического ряда с периодом по оси и с периодом
по оси . При этом полагаем, что члены этого ряда непрерывны и дифференцируемы
на некоторых заданных интервалах, а сам ряд и ряд, составленный из производных
его членов, равномерно сходятся на указанных интервалах. С учетом начальных
условий (2.3), можно представить в виде следующего разложения [80] на
интервалах , ,
, (2.13)
где;
– массив констант;
– размеры очага деформации по осям и соответственно;
– время процесса деформации.
Метод решения краевой задачи предполагает преобразование исходных, входящих в
постановку функциональных уравнений (2.4) и (2.12) в систему
линейно-независимых алгебраических уравнений. Используя опыт, полученный в
работе [80], вышеуказанные зависимости разложим в ряды Фурье. Для этого
дифференциальное уравнение (2.12) запишем в следующем виде
. (2.14)
Затем зависимости (2.9), (2.10) и (2.13) подставим в систему (2.4), (2.14).
Неизвестный массив констант определяется из условий выполнения уравнений
(2.4), (2.14), то есть равенства нулю функций (см. (2.4)) и (см. (2.14)).
Известна теорема, согласно которой каждая функция равна нулю тогда и только
тогда, когда коэффициенты ряда Фурье из соответствующего разложения данной
функции равны нулю. Тогда, полагая, что исходные функции, определяемые
зависимостями  (2.4), (2.14), непрерывны и монотонны на конечном числе
интервалов, на которые можно разбить заданный интервал, а также, что в
результате разложения будут функции четные, коэффициенты соответствующих рядов
Фурье запишутся в следующем виде [137, 138]:
; (2.15)
, (2.16)
где .
После расчета интегралов, входящих в (2.15), (2.16), каждая зависимость дает
систему линейных алгебраических уравнений относительно констант . Затем они
объединяются в одну общую систему. Число членов в рядах и, соответственно,
неизвестных констант в формулах, определяющих , берется равным числу уравнений
в системах (2.15), (2.16). Числа выбираются из условия сходимости выше
представленных рядов, а также требуемой точности выполнения уравнения (2.12) и
краевых условий (2.4).
В общем случ