РАЗДЕЛ 2
РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКИ ОСЦИЛЛЯТОРА ДЮФФИНГА
2.1. Постановка задачи
В этом разделе изложены результаты изучения основных особенностей динамики
осциллятора Дюффинга, который находится под действием внешних периодических
сил. Построены потенциалы осциллятора Дюффинга и его фазовый портрет. Методом
Мельникова определены условия возникновения гомоклинической структуры.
Численными методами исследовано возникновение странного аттрактора. При этом
для характеристики странного аттрактора использовались максимальные показатели
Ляпунова (2.4). В качестве примера рассмотрена слаборелятивистская динамика
электрона во внешнем постоянном магнитном поле и в поле электромагнитной волны
(2.6), а также нелинейное уравнение Шредингера (2.5) и модель Лоренца (2.7).
Понимание физических процессов, протекающих вокруг нас, о многом обусловлено
изучением различных моделей. Основной моделью колебательных процессов является
модель линейного маятника (осциллятора). Изучение особенностей динамики
линейного осциллятора позволило сформулировать все основные закономерности
линейной электродинамики. Эта модель хорошо описывает процессы при малых
амплитудах колебаний. Если амплитуды колебаний становятся большими, то
значительную роль в динамике колебательной системы начинают играть нелинейные
эффекты. Для описания нелинейных эффектов модель линейного маятника приходится
усложнять. Наиболее известной и плодотворной моделью нелинейных колебательных
процессов является модель математического маятника. Эта модель описывает многие
важные характерные черты нелинейных колебательных процессов. В частности, она
описывает нелинейные изменения частоты. Результатом нелинейного изменения
частоты является нарушение резонансных условий взаимодействия физических
подсистем. Нарушение резонансных условий взаимодействия, в свою очередь,
приводит к ограничению эффективности взаимодействия этих подсистем. В качестве
примера можно привести процесс взаимодействия заряженных частиц с
электромагнитными полями. Это могут быть либо ускорители (энергия внешних
электромагнитных волн передается энергии заряженных частиц), либо генераторы и
усилители (энергия заряженных частиц трансформируется в энергию
электромагнитного поля). Как известно, обмен между частицами и полями
эффективен только при выполнении одного из резонансных условий взаимодействия
между ними. Это могут быть либо черенковские резонансы, либо циклотронные
резонансы, либо резонансы на нормальном и аномальном эффектах Доплера. Это
основные резонансы. При выполнении одного из этих резонансных условий
происходит эффективный обмен энергией между частицами и волнами. Однако
эффективный обмен наблюдается только при достаточно малых амплитудах волн. Если
амплитуды становятся большими, то на процесс обмена начинают сказываться
нелинейные эффекты. Как мы говорили выше, нелинейные эффекты приводят к
изменению частоты, а как результат - к изменению условий взаимодействия между
частицами и волнами. Эффективность падает. Более того, процесс обмена может
изменить знак - если первоначально, например, энергия переходила от частиц к
волнам, то в результате нелинейных процессов волны могут возвращать полученную
энергию частицам. Это наиболее простые проявления нелинейности. Наличие
нелинейности может приводить и к появлению более тонких процессов. В частности,
первоначальная регулярная динамика частицы полей может стать хаотической. На
модели математического маятника многие из указанных выше процессов к настоящему
времени изучены достаточно хорошо. Однако анализ многих физических процессов
сводится не к модели математического маятника, а к модели нелинейных
осцилляторов другого типа. Важным примером таких осцилляторов является
осциллятор Ван-дер-Поля, а также осциллятор Дюффинга. Динамика осциллятора
Ван-дер-Поля исследована во всех деталях. Некоторые особенности динамики
осциллятора Дюффинга к настоящему времени также изучены (см. например, [17]).
Однако динамика такого осциллятора изучена в значительно меньшей степени, чем
динамика математического маятника и динамика осциллятора Ван-дер-Поля.
В настоящей работе мы сформулируем основные характеристики и особенности
осциллятора Дюффинга. К этим характеристикам мы относим вид потенциала
осциллятора Дюффинга, его фазовый портрет, динамику осциллятора при воздействии
на него внешних периодических сил. При этом мы будем различать внешнее силовое
воздействие, которое в дальнейшем будем называть просто силовым воздействием, а
также внешнее воздействие, которое меняет параметры ОД. В дальнейшем это
последнее воздействие мы будем называть параметрическим. При изучении динамики
мы основное внимание будем уделять формулировке условий перехода от регулярной
динамики осциллятора к хаотической. Ниже мы аналитически (с использованием
критерия Мельникова) сформулируем общие условия возникновения гомоклинической
структуры в фазовом пространстве осциллятора. Будет показано, что такая
структура наиболее просто возникает при периодическом изменении параметров
осцилляторов. Причем, это периодическое возмущение должно быть таким, чтобы
устойчивые стационарные точки осциллятора Дюффинга потеряли свою устойчивость в
результате развития параметрической неустойчивости.
Хаотический режим динамики осциллятора был изучен численными методами. Для
характеристики этого режима использовались максимальные показатели Ляпунова.
Медленная динамика осциллятора Дюффинга может быть описана вторым
фундаментальным гамильтонианом. Следует отметить, что под первым мы понимаем
гамильтониан математического маятника. В заключение р
- Київ+380960830922