РАЗДЕЛ 2
МЕТОДИКА И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Моделирование при исследовании напряженно-деформированного состояния элементов
Под термином «моделирование» принято понимать методы экспериментального
исследования, основанные на замещении конкретного исследуемого объекта другим,
ему подобным, называемым моделью [41, 42]. Отображая одна другую, моделируемая
и моделирующая системы связаны между собой соотношениями подобия. Смысл такой
модели состоит в том, что в результате эксперимента получается информация не о
реальном явлении, а только о его отображении. Для получения истинных величин,
характеризующих исследуемое явление, необходим определенный пересчет.
Моделирование, хотя и вносит некоторые погрешности, упрощает исследование и
дает возможность получить необходимую информацию более доступными средствами.
Механическое моделирование преследует цель изучения напряженного и
деформированного состояний, а также предельных состояний на реальных либо
модельных объектах в условиях, имитирующих натуральные [42 – 44].
По указанной причине для решения упругих задач часто используют моделирование
на низкомодульных материалах, для деформации которых требуются небольшие
усилия, а получаемые деформации оказываются достаточными для точных измерений
[45 – 47]. В качестве материалов для моделирования применяют оргстекло,
полиуретан, оптически активные материалы типа ЭД15 и др. [19, 43, 47].
Известно, что при исследовании прочности важную роль играет масштабный фактор.
Однако, как показывают расчеты и экспериментальные исследования, при размерах
модели более 20 – 30 мм влияние масштабного фактора весьма незначительно [42,
47].
Механическое моделирование основано на теории подобия. Теория подобия дает
научное обоснование методов моделирования и выводы общих аналитических
закономерностей.
В общем случае условия механического подобия могут быть записаны в виде
следующих критериев [19].
; ; ;
; ; , (2.1)
где s – напряжение;
l – характерный размер;
P – усилие;
Е – модуль упругости;
n – коэффициент Пуассона;
М – изгибающий момент;
w – прогиб;
e – степень деформации
Эти соотношения означают, что, если соответствующие критерии для модели и
натуры одинаковы, то все уравнения для описания механического состояния модели
и натуры будут тождественны. Так как число переменных, определяющих
механическое состояние упругого тела по уравнениям (2.1), больше числа
уравнений, то некоторые из переменных можно брать произвольными. Это
значительно расширяет возможности моделирования.
Из первого уравнения системы (2.1) следует, что для геометрически подобной
модели, нагруженной по такой же схеме, как и натура, напряжения sм в любой
точке модели пропорциональны напряжениям в соответствующей точке натуры sн
sм=sнЧns , (2.2)
где ns – множитель преобразования, который однозначно определяется через
коэффициент геометрического подобия nl и коэффициент пропорциональности
нагрузки np
Установлено, что точное моделирование можно осуществить только в отдельных
простейших случаях [42, 48, 49]. Однако при механическом моделировании, когда
изучают напряженно-деформированное состояние различных тел, свойства которых
определяются модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона n, уравнения,
описывающие состояние исследуемых тел, как правило, удается привести к
критериальному виду
а условия подобия определить всего двумя критериями
Как отмечают многие исследователи, при упругих деформациях коэффициент Пуассона
n обычно несущественно влияет на распределение напряжений даже в трехмерных
задачах. Поэтому требование подобия можно считать несущественным и, выполняя
приближенное моделирование, при условии получать достаточно точные для
инженерных расчетов результаты [42].
Таким образом, используя для модели низкомодульный материал (например,
оптически активное стекло), можно каким-либо из методов (например, методом
фотоупругости) определить законы распределения напряжений в модели , а затем на
основании теории подобия по формуле (2.2) найти распределение напряжений в
натуре путем умножения их на постоянную ns, значение которой находится из
опытов [3].
Теоретические методы исследования напряженно-деформированного состояния упругих
тел
При рассмотрении задач анализа напряженно-деформированного состояния тяжело
нагруженных деталей штампов приходится считаться с тем, что эти задачи
относятся к неклассическим контактным задачам, особенность которых состоит в
том, что размеры площадки контакта соизмеримы с размерами контактирующих тел.
Исторически первыми, основополагающими работами в теории контактных задач
явились исследования Герца. Допуская однородность материала, отсутствие сил
трения, упругий характер деформации и малые размеры пятна контакта, по
сравнению с характерными размерами контактирующих тел, Герц определил форму
поверхности касания, распределение контактных давлений и размеры площадки
контакта. И хотя постановка задачи предусматривала ряд серьезных допущений,
результаты исследований до сих пор не потеряли своей теоретической и
практической ценности.
В начале 30-х годов ученые получили развитый математический аппарат решения
задач теории упругости, созданный Н.И. Мусхелишвили. На этой основе получены
фундаментальные результаты в области интегральных уравнений, теории потенциала
и, что особенно важно, в методах интегральных преобразований [50].
А.И. Лурье [51] разработал метод решения контактной задачи о действии жесткого
штампа на упругое полупространство. С помощью этого метода А.И. Лурье дал
решения задач о плоском штампе с круговым основанием, круговом в пла