Раздел 2.
Приближенная методика расчета прогибов
закрепленных по контуру железобетонных плит с трещинами
2.1. Актуальность расчета плит по прогибам
Актуальность расчета по деформациям при проектировании железо-бетонных
элементов и конструкций значительно возросла в последние годы. Это объясняется,
главным образом, увеличением пролетов современных конструкций. В связи с этим
не редки случаи, когда конструктивные возможности железобетонных конструкций
(перекрытий и покрытий) диктуются расчетом по деформациям, и он заставляет
вносить коррективы в размеры сечений, удовлетворяющие расчету по прочности.
Деформации интересуют нас не только сами по себе, но и при расчете по одному из
предельных состояний второй группы. Оценка их необходима и для определения
внутренних усилий в статически неопределимых системах (например, неразрезанные
балки, плиты и комбинированные системы) [71].
Для расчета элемента железобетонной конструкции по деформациям, СНиП
рекомендуют вычислять прогиб, используя формулы строительной механики.
Известно, что перемещение балки можно вычислить с помощью интеграла Мора
Но в железобетонной плите с трещинами жесткость становится переменной .
Из-за этой переменности, использование интеграла Мора затруднено, иногда
практически невозможно.
В настоящее время, наука имеет четкое представление о деформациях плиты на
упругом состоянии; их можно вычислить разными способами, в том числе методом
конечного элемента. В настоящей работе делается шаг к определению прогиба плиты
с учетом длительного воздействия нагрузки и образования трещин. Влиянию метода
закрепления плиты по контуру уделено внимание. Вначале изучены круглые пластины
переменной жесткости.
Они удобны тем, что расчет "упругих" прогибов выполняется из решения
обыкновенного дифференциального уравнения. Выявленные, для закрепленных по
контуру железобетонных круглых плит с трещинами, закономерности деформирования
распространены затем на прямоугольные плиты, имеющие массовое применение в
строительстве. В этом состоит приближенность методики, поскольку деформирование
прямоугольных плит описывается дифференциальным уравнением в частных
производных.
В этом разделе рассмотрены два способа закрепления: шарнирное опирание по
контуру и жесткое закрепление. Акцент был сделан на получение и изучение
различных коэффициентов, в том числе – коэффициента, учитывающего
трещинообразование и ползучесть в железобетонных плитах.
2.2. Шарнирно опертные плиты
2.2.1. Симметричный изгиб поперечно нагруженной
пластинки.
Если действующая на круглую пластинку нагрузка распределена по ней симметрично
относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластинки и проходящей через ее
центр, то изогнута поверхность, в которую обратится срединная плоскость
пластинки будет также симметричной. Во всех точках, равноудаленных от центра
пластинки прогибы будут одинаковы; поэтому можно изучать прогибы лишь
диаметрального сечения пластинки.
Дифференциальное уравнение симметричного изгиба поперечно нагруженной упругой
круглой пластинки постоянной толщины в полярных координатах имеет вид [27],
[53], [108],[112]:
(2.1)
где: - радиальное расстояние точек серединной поверхности пластинки от её
центра;
- интенсивность поперечной нагрузки;
- цилиндрическая жёсткость.
(2.2)
- модуль упругости материала;
- коэффициент поперечной деформации (Пуассона).
(2.3)
где - угол между нормалью к изогнутой поверхности любой точки пластинки и
вертикальной осью симметрии.
Уравнение (2.1) может быть использовано и для изучения прогибов пластинки
кусочно-постоянной жесткости [108], [112]. Применительно к железобетону в
дальнейшем будем пользовать термином плита.
2.2.2. Изгиб круглой железобетонной плиты.
Если изгибающие моменты в плите превышают момент трещинообразования
(2.4)
то в радиальном и окружном направлении возникнут трещины. Жесткость плиты
станет переменной. Ее можно приближенно считать постоянной для зоны, где нет
трещин, и постоянной, но существенно меньше, для зоны, где трещины есть.
Для изучения прогибов такой плиты воспользуемся уравнением (2.1), предполагая,
что окружность сопряжения зон плиты с различной жесткостью определяется
радиусом b (рис.2.1). На рис. 2.1 показана эпюра Mr - с наибольшим моментом
Mmax > Mcrc - ниже показана условная эпюра жесткости.
Рис. 2.1. Железобетонные плиты, шарнирно опертые по контуру.
- расстояние (радиус) до зоны сопряжения.
- расстояние (радиус) до края плиты.
- относительная координата окружности сопряжения зон с различной жёсткостью.
- отношение жёсткости железобетонной плиты между нетреснувшей частью и
растрескавшейся частью.
На участках плиты без трещин для определения жесткости с учетом ползучести в
формуле (2.2) необходимо модуль упругости заменить на длительный модуль
Е(t) = Е (1 + j),
где: j - характеристика ползучести.
Отнесенные к единице длины изгибающие моменты, действующие в радиальном - и
окружном - направлениях.
Общее решение прогиба в этом случае можно представить так:
(2.5)
В центре пластинки прогиб и наклон изогнутой поверхности конечны. Так как , то
в решении (2.5) нужно положить . Тогда
(2.6)
(2.7)
(2.8)