РОЗДІЛ 2
Основні відомості з теорії вейвлет-аналізу та штучних нейронних мереж
2.1. Основи теорії вейвлет-аналізу.
Під вейвлет-перетворенням (wavelet transform) розуміють розклад сигналу по
системі вейвлетів (wavelet) – функцій, кожна з яких є зсунутою та масштабованою
(стисненою або розтягнутою) копією одної функції – породжуючого вейвлета
(mother wavelet). При цьому в найбільш загальній постановці не конкретизується
не тільки сам породжуючий вейвлет, але й те, які саме його копії приймають
участь у розкладі.
Термін “сигнал” в даній роботі використовується для позначення любого
впорядкованого набору числено зафіксованої інформації про деякий процес,
об’єкт, функцію тощо, зокрема сигналом будемо вважати впорядковану
послідовність числових даних, наприклад, даних геофізичних досліджень
свердловин. Розглядаються одновимірні сигнали (як функції часу або координати),
хоча усі результати легко можна узагальнити на багатовимірний випадок.
Вейвлет-перетворення одновимірного сигналу полягає в його розкладі по базису,
що сконструйований з деякої солітоноподібної функції (вейвлета) з певними
властивостями шляхом масштабних змін та зсувів. Кожна з функцій цього базису
характеризує як визначену просторову (часову) частоту, так і її локалізацію в
фізичному просторі (часі). Таким чином, на відміну від традиційно
використовуваного для аналізу сигналів перетворення Фур’є, вейвлет-перетворення
забезпечує двовимірну розгортку досліджуваного одновимірного сигналу, при цьому
частота і координата розглядаються як незалежні змінні. В результаті
з’являється можливість аналізувати властивості сигналу одночасно в фізичному
(час, координата) і в частотному просторах.
Серед інших причин, які спонукали звернутися в даній роботі до вейвлетного
аналізу, можна виокремити наступні [119].
Особливості сигналів, пов’язані з розривами (стрибками) і гострими піками (які,
взагалі кажучи, у більшості випадків і є корисною інформацією), викликають
незначні зміни частотного образу, оскільки “розмазуються” по всій частотній
вісі, що унеможливлює їх детектування і аналіз по спектрах.
Гармонійні базисні функції розкладу в принципі не можуть відображувати перепади
сигналів з нескінченою крутизною фронту (типу прямокутних імпульсів), оскільки
це потребує нескінченого числа членів ряду Фур’є. При апроксимації таких
сигналів нелокалізованими у часі базисними функціями вимагається, щоб
суперпозиція цих функцій не тільки відновила стрибок, але й знищила одна одну
за межами стрибка, що робить рівнозначними усі компоненти його спектру. При
обмеженні числа членів ряду Фур’є в околі стрибків і розривів відновленого
сигналу виникають осциляції (явище Гіббса).
Перетворенням Фур’є відображуються глобальні відомості про частоти
досліджуваного сигналу оскільки базисні функції перетворення визначені на
нескінченому часовому інтервалі. Перетворення Фур’є не дає уявлення про
локальні властивості сигналу при швидких часових змінах його спектрального
складу. Так, наприклад, перетворення Фур’є не розрізнює сигнал із сумою двох
синусоїд, від сигналу з двома послідовно включеними синусоїдами із тими ж
частотами.
Отже, перетворення Фур’є не підходить для аналізу сигналів із змінною частотою,
тобто для нестаціонарних сигналів. Перед застосуванням перетворення Фур’є
важливо знати, чи є досліджуваний сигнал стаціонарним для оцінки релевантності
результатів [120]. Ще у 20-их роках минулого століття академік Л.І. Мандельштам
зазначав: “Фізичне значення розкладу Фур’є у великій мірі пов’язане із
резонансними властивостями лінійних систем з постійними параметрами; при
переході до лінійних систем зі змінними параметрами розклад Фур’є перестає бути
доцільним, і місце функцій Cos та Sin повинні зайняти інші функції” [51].
Геофізичні сигнали, як і переважна більшість сигналів, що описують природні
процеси, є нестаціонарними за своєю природою [2, 4, 39, 121-123].
Неперервне вейвлет-перетворення.
Розглянемо простір квадратично інтегрованих функцій , визначених на всій
дійсній вісі і володіючих скінченою енергією (нормою)
(2.1)
Локальне середнє кожної функції з прямує до нуля на . Більшість геофізичних
сигналів, з якими приходиться мати справу на практиці, належить до простору .
Неперервним вейвлет-перетворенням (continiuos wavelet transform) функції
називається функція двох змінних:
(2.2)
де , символ * означає комплексне спряження. Функція являє собою масштабовану та
зсунуту копію породжуючого вейвлета (mother wavelet) :
(2.3)
де множник необхідний для збереження норми: .
Таким чином, неперервне вейвлет-перетворення – це розклад сигналу по усім
можливим зсувам і розтягам (стисненням) деякої функції.
Часто вейвлет-аналіз розглядають у порівнянні із аналізом Фур’є. Нагадаємо, що
перетворення Фур’є – це розклад сигналу по зсувам і розтягам (стисненням)
гармонійної функції. Сигналу ставиться у відповідність комплекснозначна функція
. Для кожної частоти аргумент цієї функції визначає фазовий зсув, а модуль –
амплитуду відповідної гармонійної складової.
Змінна у виразах (2.2), (2.3) визначає масштаб вейвлета і є аналогом частоти в
аналізі Фур’є. Змінна визначає величину зсуву вейвлета. Таким чином, для кожної
пари і функція визначає амплитуду відповідного вейвлета [43].
Отже, кожна функція із може бути отримана суперпозицією масштабних перетворень
і зсувів базисного вейвлета, тобто являтися композицією “вейвлетних хвиль” (з
коефіцієнтами, залежними від масштабу (частоти) та від параметру зсуву (часу,
координати)). Тому іноді в літературі неперервне вейвлет-перетворення називають
масштабно-часовим або масштабно-просторовим аналізом.
Продовжуючи порівняння з
- Київ+380960830922