РАЗДЕЛ 2
ФИЛОСОФСКИЕ ДИСКУССИИ В ОСНОВАНИЯХ МАТЕМАТИКИ И ВТОРАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА
2.1. Проблема истины в математике. Формирование философских концепций в целях обоснования математики
"Математики всегда были уверены, что они доказывают "истины" или "истинные высказывания"; такое убеждение может носить, очевидно, только чувственный или метафизический характер и, встав на почву математики, невозможно ни оправдать его, ни даже придать ему смысл, отличный от тавтологии. История понятия истины в математике относится, таким образом, к истории философии, а не к истории математики; но эволюция этого понятия оказала неоспоримое влияние на эволюцию математики..." [22, с.309]. Действительно, человек с древних времен стремится построить системы знания, которые противостояли бы мимолетности ощущений и могли бы служить основой для создания определенных схем, способных объяснить окружающий мир и помочь овладеть им. И одной из этих систем знания и явилась математика. Таким образом, и понятие истины в математике формировалось под воздействием общих мировоззренческих установок на различных этапах развития человечества.
С древних времен математике как орудию познания окружающей действительности отводилась большая роль. Так и ученые XVI - XVIII вв., полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир устроен на математических принципах, и принимая средневековые представления, о том, что мир был создан на математических принципах не кем иным, как Богом, видели в математике путь к познанию истин природы. Иначе говоря, "превратив Бога в ревностного и непогрешимого математика, стоящего над всем миром, средневековые мыслители как бы отождествили поиск математических законов природы с религиозными исканиями. Изучение природы стало изучением слова божьего, его деяний и его воли. Гармония мира в их глазах была проявлением математической структуры, которой Бог наделил мир при сотворении" [64, с.238].
Так, католическое вероучение, считавшее сотворение мира рациональным актом Бога, и учение пифагорейцев и Платона, усматривавшее в математике фундаментальную реальность физического мира, слились в программе естественнонаучных поисков, суть которой сводилась к следующему: наука призвана открывать математические соотношения, лежащие в основе всех явлений природы и объясняющие их, и тем способствовать славе и величию божественного творения.
Из философов, убежденных в том, что математика - верный путь к постижению реальности, наиболее влиятельным был Рене Декарт. Он пришел к убеждению, что "только математикам удалось найти некоторые доказательства, т.е. некоторые точные и очевидные соображения" [43, с.23]. Декарт считал, что человеческому разуму от рождения присущи идеи пространства, времени, числа и Бога, а также способность распознавать истинность других интуитивно постигаемых понятий и, что из математических истин, постигаемых разумом независимо от опыта, мы можем с помощью чисто умозрительных рассуждений выводить новые истины о физическом мире. Это убеждение Декарта разделяли многие его современники и последующие поколения философов и естествоиспытателей.
Если убеждение в том, что математические законы естествознания представляют собой истины, органически включенные Богом в созданный им план Вселенной, и подвергалось каким-то сомнениям, то они были окончательно развеяны Исааком Ньютоном. Работы Ньютона положили начало новой эре и послужили основой новой методологии естествознания, отводившей математике более значительную и фундаментальную роль, чем это было прежде. Задача науки, считал Ньютон, состоит в том, чтобы раскрывать блистательные планы творца. Эту мысль он проводит в письме к преподобному Ричарду Бентли: "Когда я писал свой трактат о нашей системе ["Математические начала натуральной философии"], мне хотелось найти такие начала, которые были бы совместимы с верой людей в Бога; ничто не может доставить мне большее удовлетворение, чем сознание того, что мой труд оказался не напрасным" [цит. по 63, с.73].
Подтверждение тому, что роль математики и естествознания сводится к раскрытию плана творца дал, Готфрид Вильгельм Лейбниц. Как и Декарт, Лейбниц был, прежде всего, философом, но отличался еще большей разносторонностью, чем Декарт. Ему принадлежат первоклассные работы в математике, физике, истории, логике. Подобно Ньютону, Лейбниц рассматривал научную деятельность как религиозную миссию, возложенную на ученых. В "Теодицее" Лейбниц утверждал широко распространенную в то время идею о том, что Бог есть тот разум, который сотворил наш тщательно спланированный мир. Гармония между реальным миром и миром математики, по Лейбницу, объясняется единством реального мира и Бога. На этом же основании Лейбниц решительно отстаивал применимость дифференциального и интегрального исчисления к реальному миру.
Суть того, во что непоколебимо верили Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной математики, сводится к следующему: природе внутренне присуща некоторая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов.
В своей работе "Прагматизм" (1907) Уильям Джеймс так описывает умонастроение математиков того времени: "Когда были открыты первые математические, логические и физические закономерности, первые законы, проистекавшие из этих открытий, ясность, красота и упрощение настолько захватили людей, что они уверовали в то, будто им удалось доподлинно расшифровать непреходящие мысли Всемогущего. Его разум громыхал громовыми раскатами и эхом отдавался в силлогизмах. Бог мыслил коническими сечениями, квадратами, корнями и отношениями и геометризовал, как Евклид. Бог предначертал законы Кеплера движению планет, заставил скорость падающих тел возрастать пропорционально времени, создал закон синусов, которому свет должен следовать при преломлении... Бог измыслил архетипы всех вещей и придумал их вариации, и когда мы открываем любое из его чудесных творений, то постигаем его замысел в самом точном предназначени