РОЗДІЛ 2
УЗГОДЖЕННЯ ОСНОВНИХ МЕХАНІЧНИХ ПАРАМЕТРІВ ЗЕМЛІ
Одними з перших робіт по узгодженню фундаментальних параметрів Землі і планет стали дослідження [5,77] з врівноваження основних механічних параметрів Місяця. Вважаючи вихідними даними коефіцієнти гравітаційного потенціалу Місяця другого степеня , динамічні стиснення та , нерівності руху перигея та вузла місячної орбіти , було знайдено [5] найбільш надійні оцінки головних моментів інерції , , і гармонічних коефіцієнтів другого степеня, які протягом багатьох років використовувались при запусках радянських космічних апаратів "Луна". Врівноваження фундаментальних параметрів Місяця розглянуто і в 1996р. у роботі [129] з іншої точки зору визначення найбільш надійних оцінок полярного моменту інерції, коефіцієнта , числа Лява k2 та орієнтації координатної системи.
Узгодженню основних механічних параметрів Землі присвячена робота [87] для вибору системи фундаментальних сталих Землі, що, фактично, було однією з центральних задач Підкомісії 5 SC1 IAG "Гідростатично/ізостатичні референцні моделі Землі"[134] (1999?2003р.р.). Однак в цій роботі [87] було використано математичний апарат нескінченно малих обертань, який призводить до ненульового значення (~10-14 и більше) сліду девіаторної частини тензора інерції Землі, що вже знаходиться на рівні точності сучасних визначень сезонних варіацій коефіцієнтів потенціалу. Отже, значне підвищення точності спостережень призвело останнім часом до особливої уваги визначення часових варіацій гармонічних коефіцієнтів геопотенціалу і їх відповідного геофізичного трактування. Тепер вважається вже встановленим фактом можливість знаходження сезонних варіацій геопотенціалу з рівнем точності 10-13 та вище. Практичне визначення таких малих величин, обумовлених різноманітними чинниками, призводить, природньо, до нових алгоритмів і потребує вживання строгих теорій для уникнення впливу немодельованих ефектів.
На відміну від [87] нижче розглянуто методологічно строге перетворення гармонічних коефіцієнтів геопотенціалу другого степеня від заданої на фіксовану епоху системи координат до деякої близької системи (наприклад, зв'язаної з віссю фігури планети), що "дрейфує" в часі по відношенню до вихідної. Задача розв'язана у замкнутому вигляді для коефіцієнтів з додатковою умовою на збереження ? при поворотах системи координат ? нульовим сліду девіаторної частини тензора інерції планети, що призвело до достатньо простого алгоритму, який базується на використанні ортогональних матриць для випадку скінченних обертань.
2.1. Узгодження гармонічних коефіцієнтів другого степеня
2.1.1. Перетворення гармонічних коефіцієнтів другого степеня при малих поворотах системи координат
Розглянемо перетворення повністю нормованих гармонічних коефіцієнтів () другого порядку, визначених у прийнятій земній геоцентричній системі координат , у систему координат , яка отримана через певний скінченний поворот системи XYZ навколо початку відліку. Потенціал другого порядку V2 може бути записаний у наступній формі [13]:
==> (система XYZ), (2.1a)
==> (система X?Y?Z?), (2.1b)
де
, (2.2)
. (2.3)
В (2.2) і (2.3) матриці-девіатори H та визначені в геоцентричних системах координат та ; та ? вектори декартових координат біжучої точки P , що відповідають цим системам; - відстань від початку системи координат до біжучої точки P; () та () - повністю нормовані гармонічні коефіцієнти співвідношень (2.1) в системах та відповідно.
Як відомо, поворот системи координат XYZ навколо початку відліку може бути виражений через три матриці елементарних поворотів.
, (2.4)
, (2.5)
. (2.6)
Для розв'язку можливої неоднозначності у випадку різних послідовностей скінченних поворотів (при використанні координат полюсу xp, yp, наприклад, ), використаємо інше перетворення вектора координат
, (2.7)
де, згідно з [80]:
, (2.8)
є матрицею повороту, яка залежить тут від сферичних координат осі Z? в системі координат XYZ: ? та ? - полярна відстань і довгота цієї осі Z?.
Легко перевірити, що матриця Q може бути сформована у вигляді
, (2.9)
тобто, через комутативний поворот на кут ? лінії вузлів систем XYZ та X?Y?Z?. Тоді обернене перетворення прийме наступну форму
, (2.10)
оскільки всі розглянуті матриці поворотів є ортогональними. Підставивши (2.7) та (2.10) в (2.1), ми можемо визначити потенціал другого порядку V2 в цих двох системах:
, (2.11a)
. (2.11б)
З одного боку, (2.11a) представляє потенціал V2, записаний у системі X?Y?Z? через гармонічні коефіцієнти системи XYZ. З іншої сторони, (2.11б) представляє потенціал V2 , записаний у системі XYZ через гармонічні коефіцієнти в системі X?Y?Z?. Ці рівняння служать основою для подальших перетворень гармонічних коефіцієнтів другого порядку.
Саме введений вище комутативний поворот призводить, фактично, до додаткової умови збереження нульовим сліду девіаторної частини H тензора інерції J планети
(2.12)
що не виконується [87] при прямому використанні координат полюсу xp, yp.
Розглянемо тепер вектор a, який містить гармонічні коефіцієнти в системі X?Y?Z?:
. (2.13)
Прийнявши до уваги (2.11б), знайдемо наступну допоміжну матрицю
. (2.14)
Після простих перетворень в (2.14) з'являється можливість прямого перетворення гармонічних коефіцієнтів вектора a до деякого допоміжного вектора :
, (2.15)
, (2.16)
є ортогональною матрицею повороту на кут . Зробивши тепер поворот на кут ?, отримаємо нову ортогона