РОЗДІЛ 2. ПОБУДОВА ТА ДОСЛІДЖЕННЯ
СТІЙКОСТІ РОЗВ'ЯЗКІВ
РІВНЯНЬ ІЗ РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ
ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
В розділі розглядаються рівняння із розподіленими параметрами параболічного типу із запізненням. У пунктах 2.1 та 2.2 будуються класичні розв'язки першої крайової задачі для рівнянь із чистим запізненням та, відповідно, більш загального виду із використанням спеціальної функції - запізнюючого експоненціала. Стійкість розв'язків таких рівнянь досліджується у пункті 2.3. Подано результати числових експериментів на моделях, які описують дифузію нейтронів у ядерному реакторі. Основні результати, що одержані в цьому розділі, опубліковані в роботах [48, 50-52, 56, 123, 126, 127].
2.1. Побудова розв'язків рівняння із розподіленими параметрами параболічного типу із чистим запізненням
Розглядається лінійне рівняння теплопровідності із сталим чистим запізненням
, , (2.1)
визначене при . Цікавим є той факт, що для рівняння із чистим запізненням початкові умови повністю визначають динаміку процесу. Тобто для рівняння цього типу корректною є не крайова задача, а задача Коші. І для знаходження розв'язку рівняння (2.1) треба задавати лише початкову умову, яка має вигляд
, . (2.2)
В той же час значна кількість рівнянь з розподіленими параметрами розв'язується за допомогою методу розділення змінних, який зводить рівняння в частинних похідних до зліченої кількості звичайних диференціальих рівнянь. Але при цьому рівняння мають нульові крайові умови. Тому для рівняння (2.1) розглянемо "крайову задачу" із умовами
, , (2.3)
в якій функції і не довільні, а фіксовані й будуть визначені далі, зокрема передбачається виконання умови "узгодження"
, . (2.3')
Шуканий розв'язок задачі (2.1)-(2.3') будемо представляти у вигляді суми
доданки якої визначаються наступним чином:
1) - розв'язок однорідного рівняння
(2.4),
із початковою умовою виду
, (2.4')
, ,
і нульовими, узгодженими із (2.4'), крайовими умовами
, , ;
2) - розв'язок неоднорідного рівняння
, (2.5)
, ,
із нульовими крайовими та початковою умовами
, , , , , ;
3) - допоміжна функція.
2.1.1. Розв'язок однорідного рівняння теплопровідності із чистим запізненням
Розглянемо однорідне рівняння (2.4) із нульовими крайовими умовами. Розв'язок рівняння (2.4) шукається у вигляді добутку
, , .
Після розділення змінних отримаємо два звичайних диференціальні рівняння
, , , (2.6)
. (2.6')
Для крайової задачі (2.6) власних числами будуть , , а відповідними власними функціями
, .
Для кожного із значень рівняння (2.6') має вигляд
, . (2.7)
Початкові умови для кожного із рівнянь (2.7) отримуємо шляхом розкладу функції
,
у ряд по повній системі власних функцій рівняння (2.6)
, , . (2.8)
Розв'язок задачі Коші (2.7)-(2.8) для диференціального рівняння першого порядку із чистим запізненням (2.7) може бути записано в інтегральному вигляді із використанням спеціальної функції - запізнюючого експоненціалу [124, 125] .
Для одновимірного випадку запізнюючий експоненціал вводиться згідно визначення [124].
Означення 2.1. Запізнюючим експоненціалом назвемо функцію, яка має вигляд
(2.9)
Відповідно роботі [124] запізнюючий экспоненціал має наступні властивості.
Лема 2.1. Запізнюючий експоненціал , є майже всюди скінчене число разів неперервно диференційовною функцією. У вузлах , відбувається розрив - й похідної
= 0 , = . (2.10)
Лема 2.2. Справедливим є наступне правило диференціювання
, ,
тобто запізнюючий експоненціал є розв'язком рівняння з чистим запізненням з одиничною початковою умовою.
Лема 2.3. Для запізнюючого експоненціалу справедливим є наступне правило інтегрування
= . (2.11)
Використовуючи введену функцію , а також її властивості, розв'язок задачі Коші для рівняння (2.7) можна представити у вигляді [124]
. (2.12)
Зауваження 2.1. Якщо початкова функція
, ,
є недиференційованою, то взявши інтеграл по частинам, отримаємо наступне представлення розв'язку задачі (2.7)-(2.8)
.
Таким чином, використовуючи спеціальну функцію - запізнюючий експоненціал - , а також залежність (2.12), розв'язок однорідного рівняння теплопровідності з чистим запізненням (2.4)
із нульовими крайовими та ненульовою початковою умовою представляється у вигляді
, (2.13)
або
, (2.14)
.
2.1.2. Розв'язок неоднорідного рівняння теплопровідності із чистим запізненням
Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння (2.5)
із нульовими крайовими та нульовою початковою умовами. Його розв'язок шукаємо у вигляді розкладу в ряд Фур'є
, (2.15)
по одержаній системі власних функцій крайової задачі (2.6). Розкладаючи функцію
у ряд Фур'є по системі функцій , отримаємо
,
, .
Для кожної з складових , розв'язку отримаємо лінійне неоднорідне рівняння із запізненням
, (2.16)
із нульовою початковою умовою
, .
Як випливає з [124], для знаходження розв'язку задачі Коші рівняння (2.16) із нульовою початковою умовою має місце наступне.
Теорема 2.2. Розв'язок , рівняння (2.16), що задовольняє нульовій початковій умові , тобто , , має вигляд
. (2.17)
Повернувшись до неоднорідного рівняння теплопровідності (2.5)
із нульовими крайовими та нульовою початковою умовами, отримаємо, що його розв'язок має вигляд
, (2.18)
.
Склавши всі доданки, запишемо формальне представлення роз
- Київ+380960830922