РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ОПТИМИЗАЦИЯ РАСЧЕТА ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА НА ОСНОВАНИИ ПРОЦЕДУРЫ МОНТЕ-КАРЛО
2.1. Основная характеристика
Метод Монте-Карло заключается в статистической выборке событий для определения среднего поведения системы. Алгоритм Монте-Карло, применительно к задачам теплообмена между поверхностями, состоит из следующих элементов.
* Выбор точки излучения.
* Выбор направления излучения.
* Построение хода луча к стенке и определения номера узла на стенке,
* Решение, является ли данный луч поглощенным, отраженным или прошедшим.
* Выбор направления отражения или пропускания.
* Расчет энергетического взаимодействия луча и поверхности.
Описанные выше пункты применяются к задачам теплообмена излучением между поверхностями, разделенными прозрачной средой. В случае поглощающей и излучающей среды дополнительным фактором является длина пути, пройденного отдельным пучком излучения прежде чем он поглотится или покинет систему.
Очевидно, что метод Монте-Карло более полезен при решении сложных задач переноса излучения в поглощающей и излучающей среде, чем при решении относительно более простых задач радиационного обмена между поверхностями. Это объясняется тем, что определение локального баланса излучения в газе или другой поглощающей и излучающей среде требует интегрирования падающего излучения не только от окружающих поверхностей, но и от всех элементов объема окружающей среды. Такие задачи трудно решать аналитически. Известно, что было затрачено много усилий на разработку стандартных аналитических методов решения. При этом часто делалось значительное число допущений (по возможности обоснованных), которые требовались для получения ответа. При таком подходе терпимо относились если не к утрате справедливости решения, то, во всяком случае, к некоторой потере его точности. К числу таких допущений относятся предположения о черных, серых, диффузных или зеркальных поверхностях, а также о непрозрачных, почти прозрачных, серых или изотермических газах. Немного задач переноса излучения решено аналитически без явного или неявного применения одного или более из этих допущений. Применяя модель решения задач радиационного обмена методом Монте-Карло можно учесть большое количество различных эффектов в задачах переноса излучения. Когда необходимо учесть зависимость от направления, сложную геометрию, спектральные свойства или другие осложняющие расчет обстоятельства, алгоритм Монте-Карло является, по-видимому, наиболее общим для применения и достаточно легко используемым методом. Это упрощенный, приспособленный для компьютерных расчетов метод статистических испытаний при построении хода луча. Согласно электромагнитной теории поток энергии падающей волны при взаимодействии со стенкой разделяется на доли - отраженную, поглощенную и, возможно, прошедшую. В алгоритме Монте-Карло происходит сравнение случайного числа с найденной теоретически долей, и на основании этого сравнения весь падающий поток присваивается отраженной, поглощенной или прошедшей волне. При многократном повторении вычислительной процедуры окончательный результат получается правильным для полного потока всех лучей, поглощенной, отраженной и прошедшей составляющих. В основу алгоритма Монте-Карло положено исключение ветвления в процессе процедуры построения хода луча. Энергия не отражается и пропускается одновременно, а отражается или пропускается, и один результат следует за другим. Метод Монте-Карло имеет преимущество при вычислении угловых коэффициентов; коэффициент переноса излучения определяется непосредственно без необходимости операций интегрирования. Рассмотрим каждый из этих пунктов.
2.2. Модель расчетной системы
2.2.1. Объекты - базовые строительные элементы расчетной системы
Наиболее удобно представлять трехмерные объекты для метода трассирования лучей* в виде отдельных строительных блоков, поверхности которых обычно описываются функциями первого и второго порядка. Выбор таких функций обусловлен предпочтительностью аналитического, а не численного решения уравнений пересечения светового луча с поверхностями. В тоже время для поверхностей более высоких порядков, например бикубических поверхностей решение задачи пересечения потребует привлечения численных методов. Применение аналитического метода решения позволяет значительно упростить расчетную схему и ускорить процесс вычисления, по сравнению с численным методом решения (в случае параметрического задания функций поверхности).
Будем называть функциональным объемом некоторую часть пространства (необязательно конечную), которая охватывается поверхностью одной функции. Для того чтобы однозначно определить какой участок полупространства относится к телу объекта, а какой вне его, установим следующее правило: принадлежащим объекту считается подпространство, выделяемое поверхностью f(x, y, z) = 0, в любой точке которого значение скалярного поля f(x, y, z) > 0. Назовем такое подпространство положительным, а смежное с ним и лежащее по другую сторону от поверхности функции - отрицательным. При соблюдении этой договоренности, автоматически выполняется условие направленности вектора нормали внутрь тела, т. е. в сторону положительного подпространства, так как градиент скалярного поля описываемых классов направлен нормально от поверхности в сторону возрастания значения f(x, y, z).
Объемными объектами будем называть конечные участки пространства, ограниченные одной или несколькими функционально описанными поверхностями. Очень часто в качестве объекта используют функциональный объем, ограниченный плоскостями - многогранник. Объекты, естественно, должны обеспечивать удобство конструирования из них производных тел и обладать относительной математической простотой. Плоским объектом будем называть часть плоскости, ограниченную замкнутой линией, состоящей из конечного числа прямолинейных или криволинейных участков.
Для одного и того же объекта характерны неизменное количество ограничивающих его тело поверхностей и стандартный вид функций, описывающи
- Київ+380960830922