РАЗДЕЛ 2
УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ
Цель:
- сформулировать математическую модель напряженно-деформируемого состояния твердого тела при динамических нагрузках с учетом упруго-пластических деформаций;
- выбрать уравнение состояния твердого тела с учетом упруго-пластических деформаций;
- проанализировать теории прочности и выбрать подходящую теорию для данных задач;
- развить численный метод решения уравнений, описывающих упруго-пластические деформации твердого тела и учитывающий кавитацию;
- на основе развитого численного метода разработать прикладные программы и провести их тестирование.
2.1. Уравнения движения
2.1.1. Двумерный случай
Данная работа направлена на расчет напряженно-деформируемого состояния гидроимпульсных устройств в рамках нелинейной теории упругости. Деформации в элементах корпуса, находящегося под действием сил, в общем случае состоят из обратимой (упругой) и остаточной (пластической) частей. Эксперименты, проведенные со сталью и другими металлами, показывают [25], что в пластически деформируемых областях тела полную деформацию можно представить в виде суммы упругой и пластической деформаций. Результирующий тензор деформаций в каждой точке такой области представляет собой сумму тензоров упругих и пластических деформаций.
Будем считать, что материал корпуса обладает резко выраженным пределом текучести и деформация тела остается чисто упругой пока напряжения не достигают в ней предела текучести, а после его достижения начинается непрерывное возрастание пластической деформации. При некоторых значениях нагрузки одни области тела оказываются деформируемыми упруго, другие - пластически. Пластическое состояние будем описывать путем непрерывной корректировки напряжений, так чтобы не был превышен предел текучести материала.
Механика твердого деформируемого тела основывается на трех системах уравнений: уравнения движения (или уравнения равновесия, если задача статическая), уравнения совместности деформаций (геометрические) и физические (определяющие) уравнения.
Нестационарное осесимметричное напряженно-деформируемое состояние корпуса гидроустройства описывается следующими уравнениями в лагранжевой форме
уравнения импульсов
, (2.1)
(2.2)
уравнение неразрывности
(2.3)
уравнение энергии
. (2.4)
Компоненты девиатора напряжений связаны со скоростями деформации и изменением объема следующим образом
(2.5)
Скорости деформаций вычисляются по формулам
. (2.6)
Здесь - осевая и радиальная координаты, - плотность, - относительный объем, - гидростатическое давление, - внутренняя энергия на единицу объема, - соответственно полные напряжения, компоненты девиатора напряжений и деформации, - касательное напряжение, - поправка на поворот. Точка над величинами, входящими в уравнение, означает производную по времени вдоль траектории частицы.
Приведенные уравнения допускают скольжение вдоль поверхности раздела "твердое тело - жидкость", но запрещают скольжение между двумя упругими частями среды. Однако упругая область может скользить вдоль некоторой фиксированной границы, при этом соотношения между напряжениями и деформациями не должны зависеть от движения элемента среды как абсолютно твердого тела, т.е. соотношение между приращениями напряжений и деформаций необходимо исправить с учетом поворота системы координат. Когда элемент среды смещается из начального напряженного состояния, то, помимо деформации, может произойти его поворот. Вращение не будет влиять на рост напряжений, но первоначальное напряженное состояние этого элемента поворачивается на угол. Так как уравнения движения записаны для определенной системы координат, то повернутые напряжения должны быть пересчитаны и приведены к этой системе координат, что приводит к поправке на поворот [57].
Приведенная система уравнений движения замыкается уравнением состояния в двухчленной форме
, (2.7)
где - постоянная Тэта, - показатель адиабаты, - плотность при нормальных условиях. В табл. 2.1 приведены константы и для некоторых металлов, взятые из [51].
Таблица 2.1.
Константы уравнения состояния в форме Тэта для металлов
Металл, г/см3B,
105 атмn
105 атмМеталл, г/см3B,
105 атмn
105 атмFe7.842.155.52.5 - 10Cu8.93.024.80 - 7Al2.7851.974.20 - 5Ti4.512.603.80 - 7
В большинстве случаев корпуса гидроимпульсных установок сделаны из стали. Хорошо известно, что у сталей с отношением временного сопротивления к пределу текучести , составляет не менее 1,25, после упругой работы и небольшого переходного участка наступает пластическое течение, которое на диаграмме отмечено достаточно протяженной площадкой текучести. Работа элементов конструкций из таких сталей характеризуется упруго-пластическими деформациями. В целях упрощения расчетных предпосылок диаграмму работы стали можно принять без стадии самоупрочнения с неограниченной площадкой текучести. Криволинейный участок диаграммы между пределом пропорциональности и пределом текучести характеризуется постепенным переходом работы материала из упругой стадии в пластическую. В некоторых случаях для упрощения расчетов элементов конструкций этот участок заменяют на два линейных: участок, характеризующий линейную упругость вплоть до предела текучести и участок, характеризующий идеальную пластичность материала, т.е. используют идеальную упругопластическую диаграмму Прандтля. Работе пластичных сталей наиболее близко соответствуют третья и четвертая теории прочности. В нормах проектирования для расчета элементов стальных конструкций принята четвертая энергетическая теория прочности [56].
Будем считать, что при выполнении неравенства Мизеса материал переходит в пластическую стадию, а эквивалентные напряжения становятся равными пределу текучести и остаются постоянными при выполнении указанного условия
. (2.8)
Наличие у