РАЗДЕЛ 2
АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ РАССЕЯННЫХ ПОЛЕЙ И КАЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ОЦЕНОК ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ АКТИВНОМ ДИСТАНЦИОННОМ ЗОНДИРОВАНИИ
2.1. Основные теоретические положения оптимальных оценок параметров природных сред
В активных системах дистанционного зондирования обрабатываются сигналы, рассеянные (отраженные) исследуемой поверхностью [62 - 65]. Связи амплитуд радиоволн, удельных ЭПР с электрофизическими параметрами и статистическими характеристиками поверхностей определяются их электродинамическими или регрессионными моделями, которые получают при решении прямых электродинамических задач рассеяния радиоволн или путем экспериментальных исследований характеристик отраженных сигналов.
Поле, рассеянное поверхностью и регистрируемое одиночной антенной можно записать в виде смеси полезного сигнала и помехи [62, 64], тогда уравнение наблюдения можно представить выражениями (1.32), (1.33).
В дальнейшем будем считать, что влияние внутренних и внешних шумов учтено в векторе помех . Учет этих помех связан с конкретными условиями проведения эксперимента и степенью соответствия электродинамической или эмпирической модели реальной поверхности. Будем также считать, что координаты точки расположения фазового центра одиночной антенны, осуществляющей прием сигналов в моностатическом и бистатическом случаях, заданы. Тогда процессы в (1.32) являются лишь функциями времени. Случайную помеху считаем нормальной со средним значением , равным нулю. Поиск алгоритмов оптимальных оценок параметров выполним в рамках метода максимального правдоподобия [66 - 69].
Функционал правдоподобия для аддитивной смеси сигнала и помехи запишем следующим образом
(2.1)
где - интервал времени наблюдения реализации ;
- обратные корреляционные функции, определяемые из интегрально-матричного уравнения обращения
(2.2)
Здесь - единичная матрица. Коэффициент не зависит от конкретных реализаций и сигналов . В случае, когда процессы дельта - коррелированны и матрица диагональна
матрица обратных корреляционных функций также диагональна
и функционал правдоподобия имеет вид
. (2.3)
При построении алгоритмов оценки параметров необходимо учесть структуру зондирующих и отраженных сигналов. В общем виде структуру зондирующих сигналов можно задать выражением
, (2.4)
где - вид поляризации;
- комплексная амплитуда;
- начальная фаза.
В такой записи выражение (2.4) описывает широкий класс сигналов как непрерывных, так и импульсных, в том числе и с внутриимпульсной модуляцией.
Сигнал, отраженный от поверхности раздела и принятый антенной можно представить в виде
, (2.5)
где - амплитудный множитель, пропорциональный комплексному коэффициенту отражения от некоторой площадки , в котором отображаются электродинамические свойства поверхности;
- сигнал [69], учитывающий форму зондирующего сигнала, ослабление радиоволн при их распространении, время запаздывания, определяемое расстоянием до лоцируемого участка поверхности, и др.
Рассмотрим однородную среду с известным показателем преломления и известным временем запаздывания (расстоянием до поверхности). В случаях, когда это время неизвестно, его можно включить в число искомых параметров или исключить из рассмотрения, полагая в простейшем случае, что неизвестность времени задержки приводит к незнанию случайной начальной фазы принятого колебания, по которой можно усреднить функцию правдоподобия (2.1). Так же, как и сигналы (2.4), сигнал можно записать в виде
где - комплексная огибающая аналитического сигнала (с учетом ослабления и запаздывания при распространении).
Таким образом, сигнал определен полностью или с точностью до неизвестной случайной начальной фазы. Вся информация о параметрах , характеризующих электрофизические и геометрические свойства поверхности, содержится в комплексной амплитуде . В дальнейших исследованиях положим, что структура поверхности раздела во времени неизменна и функция не зависит от времени.
Упомянутая выше случайная фаза является несущественным параметром. К таким параметрам в ряде случаев может быть отнесен случайный множитель при , (т.е. имеем ). По несущественным параметрам функцию правдоподобия можно усреднить. Если значения таких параметров, от которых зависят элементы выборки, статистически независимы друг от друга (например, если эксперименты выполнять для различных участков поверхности) и имеют одинаковый закон распределения , то
(2.6)
где - существенные неизвестные параметры, подлежащие оценке.
Возведя в квадрат подынтегральное выражение в формуле (2.3), функцию правдоподобия можно представить в виде
, (2.7)
где в коэффициент дополнительно включены сомножители, содержащие функционалы от реализаций , не зависящие от .
Комплексные корреляционные интегралы и энергетические отношения сигнал/шум целесообразно записать в таком виде [70, 71]:
, (2.8)
, (2.9)
где
, (2.10)
, (2.11)
, (2.12)
. (2.13)
Квадратурные составляющие комплексного корреляционного интеграла (2.10) с учетом (2.11), (2.12) можно представить в виде
, (2.14)
где , - вещественная и мнимая части комплексного множителя .
Оптимальные оценки находим из решения системы уравнений правдоподобия. Дифференцируя функцию правдоподобия (2.7) по параметрам и учитывая представление комплексных корреляционных интегралов и энергетических отношений сигнал/шум в виде (2.8), (2.9), получим систему нелинейных уравнений для оценок неизвестных параметров
,