РАЗДЕЛ 2
ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Приводится общая схема проекционного и проекционно-итерационного методов для решения операторного уравнения первого рода с линейным, вообще говоря, неограниченным оператором, действующим в банаховом пространстве. Излагается проекционно-итерационная модификация обобщенного метода моментов, основанная на использовании метода минимальных погрешностей в качестве итерационного процесса для решения приближенных уравнений. Показывается, что данная модификация полностью соответствует общей схеме проекционно-итерационных методов. Предложенный подход иллюстрируется на примере решения краевой задачи теории упругости об изгибе прямоугольной пластины. Проводится теоретическое обоснование проекционно-итерационной модификации метода конечных элементов как частного случая проекционно-итерационной модификации обобщенного метода моментов. Основное содержание раздела опубликовано в работах [8, 9, 11, 16, 17].
1.2. Общая схема проекционно-итерационных методов
Проекционный метод. Пусть задано уравнение
, (2.1)
где А - линейный (аддитивный и однородный) оператор, действующий в банаховом пространстве Х. Предположим, что это уравнение имеет в Х единственное решение .
Рассмотрим проекционный метод решения уравнения (2.1). Для этого аппроксимируем его последовательностью "приближенных" уравнений
, (2.2)
где - линейный ограниченный оператор, действующий в подпространстве исходного пространства , , ? линейный проектирующий оператор, переводящий Х на для ).
Предположим, что выполнены следующие условия:
, (2.3)
, (2.4)
, (2.5)
гдe , при ; С>0 - константа.
Условие (2.5), в частности, обеспечивает существование и единственность решения каждого из приближенных уравнений.
Сходимость последовательности к точному решению уравнения (2.1) устанавливает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2.1 (о сходимости проекционного метода). Пусть выполнены условия (2.3)?(2.5). Тогда последовательность решений приближенных уравнений (2.2) сходится к решению исходного уравнения (2.1) с оценкой погрешности
. (2.6)
Доказательство. Рассмотрим
Из условий (2.3)?(2.5) следует, что справедлива оценка (2.6), следовательно, при , что и требовалось доказать.
Проекционно-итерационный метод. Наряду с проекционным методом рассмотрим проекционно-итерационный метод решения уравнения (2.1), основанный на применении к решению каждого из приближенных уравнений (2.2) некоторого итерационного метода, определяемого оператором V. Построив по этому методу приближений (k=1,2,..., ) для n-го приближенного уравнения и положив последнее из них равным начальному приближению для следующего, (n+1)-го уравнения, получим последовательность приближений к решению уравнения (2.1):
, (2.7)
Следует отметить, что первоначальное значение n может быть равным некоторому номеру>1.
Относительно итерационного процесса, определяемого оператором V, потребуем, чтобы он был монотонным, т.е. чтобы выполнялось условие
, 0<<1. (2.8)
Будем считать в дальнейшем, что
т.е. в роли итерационного процесса, применяемого к решению приближенных уравнений, выступает нестационарный итерационный процесс [95], где ? линейный ограниченный оператор в подпространстве (для которого существует обратный ), зависящий, вообще говоря, от номера итерации k и задающий тот или иной конкретный итерационный метод; ? итерационный параметр. Тогда формулы (2.7), определяющие проекционно-итерационный метод решения уравнения (2.1), примут вид
, (2.9)
Сходимость последовательности к решению уравнения (2.1) утверждает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2.2 (о сходимости проекционно-итерационного метода). Пусть выполнены условия (2.3)?(2.5), (2.8) и пусть для любого <1 .Тогда последовательность, определяемая по формулам (2.7) (или (2.9)), сходится к решению уравнения (2.1) с оценкой погрешности
(2.10)
где
, , .
Доказательство стандартно для доказательства теорем о сходимости проекционно-итерационных методов [5].
Рассмотрим
(2.11)
В силу условия (2.8) монотонности итерационного процесса,
В свою очередь,
поэтому
Аналогично,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Тогда
Окончательно, из последнего неравенства и неравенства (2.11) получаем оценку погрешности (2.10). Поскольку для любого n=1,2,..., то при
Проектирование в пространства, изоморфные подпространствам исходного пространства. При решении проекционным или проекционно-итерационным методами практических задач часто уравнение (2.1) аппроксимируется последовательностью "приближенных" уравнений
, (2.12)
заданных не в подпространствах исходного пространства Х, а в некоторых пространствах , изоморфных подпространствам .
Обозначим через линейный оператор, который каждому элементу ставит во взаимно однозначное соответствие элемент . Ясно, что существует оператор , осуществляющий обратное отображение на . Относительно операторов и предположим, что , где С' и С" - константы. Введем также оператор , являющийся расширением на все пространство Х. В роли может выступать, например, оператор . Отсюда следует, что .
Предположим, что выполнены следующие условия:
, (2.13)
, (2.14)
, (2.15)
где , при ; >0 - константа.
Нетрудно показать, что если , то от уравнения (2.12) можно перейти к уравнению (2.2), заданному в подпространстве . Действительно, подействовав на обе части уравнения (2.12) оператором и учтя, что , получим . Обозначив , перейдем к уравнению вида (2.2).
Аналогично можно осуществить переход от уравнения (2.2) к уравнению (2.12). Таким образом, уравнения (2.12) и (2.2) оказываются эквивалентными в том смысле, что из однозначной разрешимости одного из них следует однозначная разрешимость
- Київ+380960830922