Розв’язання двовимірних задач статики конічних оболонок змінної товщини на основі апроксимації функцій дискретними рядами Фур’є

РАЗДЕЛ 2
ОсновнЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ КОНИчЕСКИХ оболоЧЕк ПЕРЕМЕННОЙ тоЛщинЫ
2.1. Исходные предположения и основные сведения о деформировании оболочек
Будем рассматривать тонкие оболочки, вообще говоря, переменной жёсткости, т.е.
будем считать толщину оболочки переменной. Материал оболочки считаем
изотропным. Срединную поверхность оболочки будем считать круговым конусом,
однако сама оболочка не будет круговой по причине переменности толщины.
Деформация оболочки рассматривается под действием распределённых поверхностных
и контурных силовых нагрузок. Предполагаем также, что оболочки выполнены из
материала, подчиняющегося обобщённому закону Гука.
Будем исходить из линейной теории оболочек, которая базируется на предположении
о линейной зависимости между возникающими в теле внутренними усилиями и
деформациями, а также о том, что точки оболочки получают весьма малые
перемещения по сравнению с её толщиной.
Определения и основные сведения о геометрических характеристиках. Оболочкой или
тонкой оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными
поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами
тела.
Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих поверхнос­тей, называют
срединной поверхностью оболочки. При этом под­разумевается, что такую
поверхность можно построить.
Отрезок перпендикуляра к средин­ной поверхности, заключенный между
ограничивающими поверхностями, на­зывают толщиной оболочки и обозна­чают через
h. Будем считать толщину оболочки переменной величиной, за­висящей от
криволинейных координат срединной поверхности.
Если оболочка не имеет границ, кроме указанных выше двух поверх­ностей, она
будет замкнутой. Если срединная поверхность ограничена каким-либо контуром, то
получаем незамкнутую оболочку. Счита­ем, что граничная поверхность, проведенная
вдоль этого контура, перпендикулярна к срединной.
Геометрия оболочки полностью определена, если заданы ее сре­динная поверхность
и закон изменения толщины.
В теории оболочек трехмерная задача сводится к двумерной [6, 7], т. е.
трехмерному упругому телу ставится в соответ­ствие срединная поверхность,
обладающая в некотором смысле эк­вивалентными свойствами.
Это достигается путем принятия гипотезы Кирхгофа — Лява (гипотезы
недеформируемых нормалей), согласно которой: 1) пря­молинейный нормальный к
срединной поверхности элемент обо­лочки остается прямолинейным и нормальным к
деформированной срединной поверхности, сохраняя при этом свою длину; 2)
нормаль­ными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверх­ности,
можно пренебречь по сравнению с аналогичными напряже­ниями на площадках,
перпендикулярных срединной поверхности.
Приведем геометрические характеристики оболочки. В ортогональной системе
криволинейных координат б, в, г для квадрата длины линейного элемента
пространства справедливо равенство
где функции H1, H2, H3 называются параметрами Ламе и определяются с помощью
следующих формул:
В криво­линейной ортогональной системе координат отнесем средин­ную поверхность
оболочки к координатной поверхности и будем считать координатные линии и
совпадающими с линиями главных кривизн срединной поверхности, а координатную
линию — прямолинейной (рис. 2.1). Толщина оболочки отсчитывается от срединной
поверхности в направлении координаты и является переменной, т. е.
В выбранной системе координат параметры Ламе принимают значения:
, (2.1)
где и — радиусы главных кривизн;
— коэффициенты первой квадратичной формы срединной по­верхности
, (2.2)
. (2.3)
В формуле (2.2) — элемент длины дуги линии на срединной поверхности, и —
соответственно длины дуг координат­ных линий и .
Подставляя (= 1, 2, 3) из (2.1) в известные соотношения для коэффициентов Ламе
[11] и полагая , получаем соотношения Кодацци — Гаусса:
;
. (2.4)
(1.36)
Перемещения и деформации. Подставляя (2.1) в выражения, связывающие деформации
с перемещениями [15], и со­храняя для и их обозначения, находим:
(2.5)
(2.6)

В соответствии с принятой гипотезой Кирхгофа — Лява можно счи­тать, что из
шести соотношений закона Гука [5] третье, четвертое и пятое могут быть заменены
следующими приближенными равен­ствами:
(2.7)
В силу (2.7) из (2.5) имеем:
(2.8)
т. е. нормальное перемещение какой-либо точки оболочки не зави­сит от
координаты и равно нормальному перемещению соответ­ствующей точки срединной
поверхности.
Учитывая (2.7) и (2.1), из (2.6) после интегрирования по получаем:

. (2.9)
где , — тангенциальные перемещения соот­ветствующей точки срединной
поверхности.
Перемещения точки оболочки можно также записать в виде:

(2.10)
,
где и — углы поворота нормали к срединной поверхности обо­лочки соответственно
в плоскостях и , которые определяются равенствами:
(2.11)
Принимая во внимание (2.1), (2.8) и (2.9), деформации из (2.5) и (2.6) могут
быть представлены в виде разложе­ний по степеням переменной и, ограничиваясь
первыми двумя членами, их можно записать в виде:

, (2.12)
где , , и , , определяются выражениями:
; (2.13)
;
; (2.14)
где , — нормальные деформации соответственно в на­правлениях и ;
— сдвиг;
, — изменения кривизн;
— кручение срединной поверхности оболочки.
Деформации , , являются компонентами тангенциальной деформации, а , , —
изгибной.
Иногда в теории оболочек выражения (2.14) записывают не­сколько в ином виде [5,
6], однако это отличие является малой величиной с точки зрения принятых в
теории оболочек допущений.
Шесть компонент деформации срединной поверх