РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА СІТКОВИХ АПРОКСИМАЦІЙ ДЛЯ ДИНАМІЧНИХ ОСЕСИМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ
ЕЛЕКТРОПРУЖНОСТІ
В ЦИЛІНДРИЧНИХ КООРДИНАТАХ
В попередньому розділі сформовано повну систему рівнянь, що описує коливання
п’єзоелектричного тіла в циліндричних координатах. В даному розділі наведено
динамічні осесиметричні рівняння електропружності в циліндричній системі
координат та граничні та початкові умови, що відповідають постановці задачі.
Описано перехід до безрозмірних змінних, при яких загальний вигляд рівнянь
електропружності не зміниться, та введення параметра кривизни , який дає змогу
здійснювати перехід від циліндричної до плоскої області.
Для отриманої початково-крайової задачі описано розвинуту чисельну методику
розв’язання нестаціонарних осесиметричних задач електропружності на основі
сіткових апроксимацій та різницевих схем, проведено тестування методики,
зроблено порівняння розв’язків різними методами, проведено аналіз точності та
зроблено оцінку необхідної кількості кроків для розглянутих методів.
2.1. Виведення системи розв’язуючих рівнянь
Розглянемо циліндр з зовнішнім та внутрішнім радіусом (– радіус серединної
поверхні, – товщина стінки циліндра) та довжиною під дією осесиметричного
навантаження. Пов’яжемо з ним циліндричну систему координат . Осьова симетрія
тіла разом з осьовою симетрією зовнішнього навантаження дає можливість перейти
до осесиметричної задачі.
В осесиметричній постановці рівняння електропружності (1.1)–(1.6) не залежать
від окружної координати . Таким чином, повна система рівнянь, що описує
зв’язані електропружні осесиметричні коливання п’єзоелектричних тіл,
складається з рівнянь руху
; (2.1)
;
квазістатичного наближення рівнянь Максвела
; (2.2)
; ,
співвідношень Коші для деформацій
; ; ; (2.3)
;
та матеріальних співвідношень, які з врахуванням (2.2) та (2.3) мають вигляд
;
;
; (2.4)
;
;
.
Початкові умови вибираємо в вигляді
; ; (2.5)
; .
Коливання в циліндрі можуть викликатися як електричними, так і механічними
нестаціонарними збуреннями. Механічні граничні умови задаються в вигляді
заданих переміщень або сил на торцевих поверхнях та сил на циліндричних
поверхнях. Таким чином, механічні граничні умови приймаються у вигляді
; ;
;
. (2.6)
Тут , , , , .
Для електричних змінних вважаємо, що на внутрішній і зовнішній поверхні
циліндра нанесені поверхневі електроди з відомим значенням різниці потенціалу
як функції часу, а на торцях , поверхневі заряди відсутні:
; ; . (2.7)
Перехід до безрозмірних змінних проводиться за допомогою позначень
, , , , ,…, ,, (2.8)
, , , , , ,
де , , , – нормуючі величини, – параметр кривизни. При обчисленнях за нормуючі
величини вибираються , , , .
Застосувавши (2.8) до (2.1), (2.2), отримуємо систему диференціальних рівнянь в
частинних похідних в безрозмірній формі:
; (2.9)
;
Матеріальні співвідношення (2.4) приймуть вигляд
;
;
; (2.10)
;
;
.
Надалі знаки безрозмірності опускаються, і всі вирази та графічні результати
наводяться в безрозмірному вигляді.
Підставивши вирази для напружень та компонент вектора електричної індукції
(2.10) в рівняння електропружності (2.9), отримаємо систему диференціальних
рівнянь в частинних похідних відносно переміщень та електричного потенціалу:
(2.11)
Система (2.11) гарно представляється в різницевій формі, але для адекватного
представлення граничних умов зручніше користуватись рівняннями (2.9), (2.10).
Отже, початково-крайова задача про поширення нестаціонарних коливань в
п’єзоелектричному радіально-поляризованому циліндрі описується системою
диференціальних рівнянь (2.9)(2.10) при початкових умовах (2.5) та граничних
умовах (2.6), (2.7).
Сіткова апроксимація рівнянь електропружності
Процес побудови чисельної схеми розв’язання нестаціонарних задач
електропружності полягає в дискретизації рівнянь електропружності та граничних
і початкових умов за допомогою сіткових апроксимацій та чисельних схем
інтегрування по часу.
В змішаній початково-крайовій задачі (2.9), (2.10) при умовах (2.5), (2.6),
(2.7), вводиться дискретизація рівнянь електропружності (2.9) та матеріальних
співвідношень для радіально поляризованих тіл (2.10) за допомогою
сітково-інтерполяційного методу [22, 48, 49, 103, 104]. Розглянемо введення
сіткових апроксимацій та процес переходу від системи диференціальних рівнянь в
частинних похідних до системи звичайних диференціальних рівнянь по часу.
Для реалізації цієї методики розіб’ємо досліджувану область вертикальними та
горизонтальними лініями на прямокутники розміром . Розбиття (сітка неперервних
ліній на рис. 2.1), де
,,
містить позаконтурні точки, необхідні для точного запису граничних умов з
другим порядком точності. Шуканими є значення переміщень , та електричного
потенціалу в вузлах сітки (кружечки на рис. 2.1). Рівняння (2.9) записуються в
внутрішніх точках розбиття (незафарбовані кружечки), а напруження та електрична
індукція—в центрах комірок розбиття (хрестики на рис. 2.1).
Рис. 2.1. Розбиття , що вводиться в перерізі циліндра
Кількість невідомих , , виросла до кількості вузлів розбиття, помноженої на
три. Значення похідних по просторових координатах в точках заміняються за
допомогою виразів
; ;
; .
Таким чином, вихідна система диференціальних рівнянь наближується по
просторових координатах з другим порядком точності .
При підстановці різницевої форми матеріальних співвідношень в різницеві
рівняння електропружності маємо шаблон, що складається з дев’яти точок, в
кожній точці