РАЗДЕЛ 2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДЕ, ОБРАЗОВАННОМ ЗАЗОРОМ МЕЖДУ ДВУМЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ СТРУКТУРАМИ
В данном разделе исследуются электродинамические свойства волновода, образованного зазором между двумя слоисто-периодическими диэлектрическими структурами. Обсуждаются дисперсионные свойства рассматриваемого волновода для различных соотношений параметров периодических структур и волноведущего слоя. Исследуется модовый состав такого волновода. Рассматриваются распределения полей и потоков энергии в волноведущем слое и периодических стенках. Рассмотрено волноводное распределение, когда энергия в основном переносится в волноведущем слое. Кроме того, предсказано существование поверхностных волн в исследуемом волноводе, а также рассмотрена ситуация, когда большая часть энергии переносится в периодических стенках, т.е. распространение волн происходит в периодических структурах, а не в разделяющем их слое.
2.1. Постановка задачи. Методика исследования
2.1.1. Геометрия исследуемого волновода.
Геометрия волновода со слоисто-периодическими стенками представлена на рисунке 2.1. Стенки волновода представляют собой идентичные полубесконечные периодические структуры, период которых составлен из двух слоев диэлектриков, различающихся толщинами и и диэлектрическими проницаемостями и . Волноведущий слой (слой "g") имеет толщину и диэлектрическую проницаемость . Ось 0z выбираем перпендикулярно границам слоев, а начало координат - на левой стенке волноведущего слоя. Вдоль оси 0y все слои предполагаются однородными, поэтому зависимостью от координаты y можно пренебречь, положив .
Рис. 2.1. Геометрия волновода со слоисто-периодическими стенками.
Распространение электромагнитных волн в каждом из слоев описывается уравнениями Максвелла:
(2.1)
При таком выборе геометрии задачи уравнения Максвелла распадаются на две системы для ТМ-волн (волн с поперечной по отношению к периодичности стенок волновода компонентой магнитного поля)
(2.2)
и ТЕ-волн (волн с поперечной по отношению к периодичности стенок волновода компонентой электрического поля)
(2.3)
Зависимость полей от времени и координат имеет вид .
Методику получения дисперсионного соотношения рассмотрим на примере ТМ-волны. Для другой поляризации методика аналогична. Для получения дисперсионного соотношения воспользуемся методом матрицы преобразования [11, 20].
2.1.2. Метод матрицы преобразования.
Рассмотрим бесконечную плоскослоистую структуру, период которой составлен из двух диэлектриков, различающихся толщинами слоев и и диэлектрическими проницаемостями и . Представим поля на толщине первого слоя (, где - период структуры, ) в виде:
(2.4)
Для второго слоя ():
(2.5)
где
(2.6)
- поперечные волновые числа первого и второго слоев. Равенство (2.6) получено из уравнений Максвелла для первого и второго слоев соответственно. Необходимо отметить, что зависимость полей пропорциональная здесь и в дальнейшем опускается.
Выразим произвольные постоянные и через значения полей при и подставим в соотношение (2.4). Решение представим в матричном виде:
(2.7)
Матрица, связывающая поля в произвольной точке слоя с полями в начале координат, называется передаточной матрицей. Важным свойством передаточной матрицы является ее унимодулярность, т.е. ее определитель равен единице [20]. Представим поля в начале координат через их значения в произвольной точке z слоя. Для этого необходимо найти матрицу, обратную передаточной:
(2.8)
Матрица называется матрицей преобразования. Она также является унимодулярной. Для получения матрицы для второго слоя необходимо в (2.8) заменить индекс "1" на "2".
(2.9)
На границах слоев должны выполняться граничные условия, состоящие в непрерывности тангенциальных компонент электромагнитного поля. Следовательно
(2.10)
- матрица преобразования одного периода структуры. Ее составляющие равны:
(2.11)
Периодичность структуры учитывается с помощью теоремы Флоке [12], которая заключается в том, что поля и все физические параметры на расстоянии должны отличаться на фазовый множитель , т.е.:
(2.12)
где - блоховское волновое число, - период структуры.
Из соотношения (2.10) с учетом теоремы Флоке (2.12) имеем систему уравнений:
(2.13)
(2.13) - система однородных линейных уравнений. Нетривиальное решение такой системы существует, если ее определитель равен нулю. Раскрыв этот определитель, получаем дисперсионное уравнение для безграничной периодической структуры:
(2.14)
Это соотношение позволяет выяснить смысл блоховского волнового числа. Если диэлектрические проницаемости обоих слоев равны (), получается предельный переход к однородной среде. При этом , т.е. блоховское волновое число переходит в поперечное волновое число однородной среды. Таким образом, блоховское волновое число можно рассматривать в качестве усредненного по периоду структуры нового волнового числа.
Отметим, что преимущество метода матрицы преобразования состоит в том, что он позволяет понизить порядок системы уравнений, используемой для нахождения характеристик структуры [11] (система четвертого порядка, которая получается при подстановке соотношений (2.4), (2.5) в граничные условия и в условие периодичности (2.12), заменяется системой из двух уравнений (2.13)).
Матрица преобразования одного слоя для ТЕ-волн имеет вид
(2.15)
для одного периода структуры:
(2.16)
Тогда дисперсионное соотношение для безграничной структуры для ТЕ-волн следующее:
(2.17)
Соотношение (2.17) отличается от формулы (2.14) тем, что диэлектрические проницаемости входят в него только в неявном виде через нормальные компоненты волнового вектора (2.6).
2.1.3. Анализ волновода со слоисто-периодическими стенками.
Рассмотрим волновод со слоисто-периодическими