РОЗДІЛ 2
МЕТОДИКА ФОРМУВАННЯ ВМІНЬ РОЗВ'ЯЗУВАТИ
ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ
2.1. Навчання аналізу загальної структури прикладних задач
Необхідною умовою успішного розв'язування прикладних задач є ставлення до задачі як до об'єкта дослідження. Це в свою чергу передбачає оволодіння певними знаннями про структуру задачі, її складові частини.
Для формування вмінь розв'язувати задачі, як зазначає Л.М. Фрідман, потрібні перш за все спеціальні знання про задачі та їх розв'язування [199].
Подамо деякі теоретичні відомості про прикладну задачу та її склад.
Прикладна задача - це результат моделювання реальної ситуації, коли абстрагуючись від усього другорядного, залишають в її умові лише основні, істотні характеристики, що дають змогу застосовувати математичні методи.
Прикладна задача характеризується такими ознаками:
1) сформульована природною мовою;
2) сюжетна (в ній найчастіше описується кількісна сторона деяких явищ, подій, ситуацій тощо);
3) імітує етапи реального дослідження;
4) розв'язується за допомогою математичного апарату.
Як зауважують автори статті "О математизации задач, возникающих на практике" [9], cпецифічною особливістю прикладних задач є певна їх невизначеність. В умові задач найчастіше задається об'єкт і потрібно самому вибирати такі параметри, такі характеристики об'єкта, які забезпечать можливість дістати правильний розв'язок.
Будь-яка прикладна задача являє собою вимогу або запитання, на яке потрібно знайти відповідь, опираючись i враховуючи ті умови, які вказані в задачі. Отже, приступаючи до розв'язування задачі, необхідно уважно її вивчити, встановити, у чому полягає вимога (запитання), умова, виходячи з якої потрібно розв'язати задачу.
Як правило, під умовою задачі розуміють усе формулювання задачі, весь її текст, але доцільно вирізняти в задачі умову та вимогу. Крім того, в задачі звичайно не одна умова, а декілька елементарних (нероздільних далі) умов, вимога в задачі також може бути не одна. Тому необхідно розділити умову та вимогу задачі на окремі елементарні умови та вимоги. Під умовою задачі розумітимемо твердження задачі, під структурою умови задачі - сукупність всіх величин (відомих і невідомих) та їх числових значень і систему математичних співвідношень між цими величинами, вказаних (явно і неявно) в умові задачі.
Вимога задачі - це основна вказівка у виборі шляху розв'язування, те, що необхідно встановити в результаті розв'язування задачі. Вона найчастіше задається у вигляді питального або спонукального речення ("Скільки...?", "Знайти....", "Показати....", т. д.).
Оператор задачі - це сукупність тих дій, які необхідно провести над умовою задачі, щоб виконати її вимогу; оператор неявно задається вимогою.
Отже, схематично структуру прикладної задачі можна подати, як на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Структура прикладної задачі
Особливу увагу рекомендується приділяти формуванню вмінь аналізувати задачі: виділяти їх структурні компоненти (умову, вимогу, елементарні умови та вимоги); встановлювати достатність даних величин для розв'язання задачі, з'ясовувати зв'язки між даними умови і вимогою. З цією метою студентам пропонуються такі види задач: на виділення умови та вимоги, на встановлення повноти даних, з незвично сформульованою умовою, на переформулювання умови задачі, розбиття її на підзадачі, з несформульованою умовою або вимогою.
Задача 2.1.1. На скільки гектарів вистачить водного розчину карбаміду і аміачної селітри ("плав"), що знаходиться в заповненій циліндричній цистерні для внесення під посів зернових культур?
Формулювання цієї задачі складається з однієї вимоги. Проведемо її аналіз. Вимогу можна сформулювати інакше: яка площа поля, на яке необхідно внести певну кількість мінерального добрива? Щоб відповісти на це запитання, потрібно знати норму внесення даного добрива. Така величина визначається однозначно, коли відомо: в який період вноситься добриво? Під яку сільськогосподарську культуру вноситься "плав"? Скільки вже міститься даного добрива в ґрунті? Такі дані можна дістати з довідника агронома [62]. Так, наприклад, для третього підживлення озимої пшениці необхідно вносити водного розчину "плаву" 150-200 л/га. Кількість мінерального добрива, яке цілком заповнює цистерну, співпадає з об'ємом циліндричної цистерни. Для визначеності вважатимемо, що її довжина 5 м, діаметр 1,5 м.
Аналіз цієї задачі дозволяє виділити такі елементарні умови:
1) кількість водного розчину карбаміду та аміачної селітри;
2) циліндрична цистерна об'ємом ;
3) кількість добрива співпадає з об'ємом циліндра;
4) норма внесення добрива.
Вимога: знайти площу поля, на яке необхідно внести певну кількість добрива.
Задача 2.1.2. Довжина кола переднього колеса сільськогосподарської машини становить a м, заднього b м. На якій відстані переднє колесо зробить на один оберт більше заднього?
Виділяємо елементарні умови:
1) довжина кола переднього колеса a м;
2) довжина кола заднього колеса b м;
3) кількість обертів переднього колеса на 1 більша від кількості обертів заднього колеса;
4) переднє та заднє колесо проходять одночасно однакові відстані.
Вимога: знайти на якій відстані переднє колесо зробить на один оберт більше заднього?
Пропонуємо завдання, в яких необхідно сформулювати вимогу до умови задачі.
Задача 2.1.3. Залежність між розміром площі полів господарства та валовим доходом з розрахунку на 100 га сільськогосподарських угідь лісостепової зони виражається формулою , де x - площа угідь, тис. га, y - валовий доход на 100 га угідь, тис. грн.
До умови задачі можуть бути поставлені такі вимоги:
1. При якій площі полів господарство буде мати найбільший валовий дохід?
2. Охарактеризувати динаміку валового доходу господарства.
Такі завдання переконують студентів у тому, що саме вимога вказує на вибір способу розв'язання задачі.
Результати попереднього аналізу задачі у словесній, описовій формі, яку використовували вище, не завжди зручно подавати. В деяких випадках доціл
- Київ+380960830922