РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ФОТОННЫМИ КРИСТАЛЛАМИ (МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ)
2.1. Постановка задачи
В данном разделе рассматривается процесс нелинейного взаимодействия ЭМИ с периодической структурой ФК. В этом случае распространение ЭМИ обуславливается не только периодическим изменением коэффициента преломления материала, как это происходит в случае линейного взаимодействия, а еще и интенсивностью ЭМИ. Такое взаимодействие имеет место тогда, когда распространяющаяся электромагнитная волна большой амплитуды может изменить коэффициент преломления материала периодической структуры и сама для себя обусловить условия взаимодействия (например, самофокусирование). Или же тогда, когда на диэлектрическую периодическую среду воздействует другой источник интенсивного ЭМИ (сигнал накачки), меняющий коэффициент преломления и обуславливающий условия взаимодействия первой электромагнитной волны с этой средой.
Для исследования процесса нелинейного взаимодействия ЭМИ с периодической структурой ФК рассматривается физическая модель, показанная на рисунке 2.1. Сфокусированное ЭМИ нормально падает на ФК. Пусть диаметр пучка ЭМИ соответствует 10-12 периодам (элементарным ячейкам) решетки ФК. Такое условие достижимо на практике, так как типичным значением диаметра пучка ЭМИ оптического квантового генератора является 5 мкм, а период решетки ФК, предназначенного для применения в оптических системах связи, обычно составляет 450-500 нм. В работе [1] было показано, что в ФК, решетка которого состоит из 10-12 периодов, обладает теми же самыми физическими свойствами, что и ФК со значительно большим количеством элементарных ячеек. Поэтому в рамках данной физической модели можно считать, что ЭМИ равномерно облучает всю поверхность исследуемого ФК.
Рисунок 2.1 - Физическая модель взаимодействия ЭМИ с ФК
В свою очередь равномерное воздействие ЭМИ на ФК может быть представлено как равномерное распределение точечных источников ЭМИ в самом ФК. На рисунке 2.2 показана физическая модель, эквивалентная модели, показанной на рисунке 2.1. В каждую элементарную ячейку ФК помещается по одному точечному источнику ЭМИ (на рисунке 2.2 обозначены точками), которые моделируют равномерное распределение ЭМИ по всей структуре ФК.
Рисунок 2.2 - Эквивалентная физическая модель
Представленная на рисунке 2.2 физическая модель может быть использована для исследования дисперсионных характеристик одномерных и двухмерных ФК. Причем от этой физической модели можно перейти как к двухмерной математической модели, так и трехмерной.
2.2. Математическое моделирование в двухмерном приближении
Для исследования дисперсионных характеристик в двухмерном приближении используется упрощенная двухмерная физическая модель (рисунок 2.3) нелинейного взаимодействия ЭМИ с периодической диэлектрической структурой. В элементарные ячейки ФК на одинаковом расстоянии друг от друга встроены точечные источники ЭМИ, моделирующие влияние ЭМИ на периодическую структуру. Учитывая как периодичность в пространстве структуры ФК, так и периодическое расположение в пространстве точечных источников, согласно теореме Блоха можно свести задачу исследования свойств ФК к задаче распространения электромагнитного поля в элементарной ячейке ФК. В элементарной ячейке на распределение излучаемого точечным источником электромагнитного поля налагаются периодические граничные условия [113], обозначенные на рисунке 2.3 пунктирной линией. Электромагнитная волна, излученная точечным источником, достигает границы на одной стороне элементарной ячейки и под управлением периодических граничных условий возвращается в элементарную ячейку с другой стороны. Возврат электромагнитной волны в элементарную ячейку обеспечивается наличием точечных источников ЭМИ в соседних элементарных ячейках. Этот процесс схематически показан на рисунке 2.3 стрелками, направление которых соответствует направлению распространения фронта электромагнитной волны.
Для построения двухмерной математической модели применим электродинамический подход и рассмотрим распространение ЭМИ в элементарной ячейке ФК, ограниченной периодическими граничными условиями. Учитывая, что типичные поперечные размеры ФК, решетка которых состоит из 10-12 периодов, превышают 5 мкм, в данном случае нет необходимости учитывать квантовые эффекты, играющие роль заметную только лишь в том случае, если размеры исследуемых структур меньше, чем 100 нм.
2.2.1. Основные уравнения
Распространение ЭМИ в ФК описывается уравнениями Максвелла. Эти же уравнения описывают распространение ЭМИ в элементарной ячейке ФК, которая используется для моделирования распространения ЭМИ в периодической структуре исследуемого ФК. В системе единиц СИ [5, 13] уравнения Максвелла записываются в следующем виде:
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
, (2.4)
где - скорость света в свободном пространстве. Уравнения, связывающие попарно четыре вектора электромагнитного поля, называются материальными уравнениями. В случае нелинейного взаимодействия они записываются как:
, (2.5)
, (2.6)
где и - вектора магнитной и электрической поляризаций, которые учитывают физику процесса поляризации молекул в диэлектрическом материале периодической структуры под действием ЭМИ точечных источников. Как известно, молекулы представляют собой нейтральные образования, которые могут взаимодействовать с электромагнитным полем как целое. Причиной этого взаимодействия является наличие у молекул собственного дипольного электрического момента или возникновение индуцированного момента под действием поля. При отсутствии поля молекулы диэлектрика электрически нейтральны. При воздействии ЭМИ молекулы диэлектрика можно рассматривать как диполи, которые под действием электромагнитного поля ориентируются вдоль линий поля, что является результатом вращения или колебания молекулярных осей молекул.
В случае лине