ГЛАВА 2
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ГИДРОЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ
2.1. Основные соотношения механики жидкости и газа
Для анализа распространения волн в жидкостях рассмотрим кратко основные уравнения движения идеальной сжимаемой жидкости. Подробный их вывод приводится в ряде монографий, в частности в [112].
При описании движения жидких или газообразных сред можно пользоваться двумя методами. Первый метод, развитый Лагранжем и названный субстационарным, состоит в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения ее индивидуальных частиц.
Второй метод, развитый Эйлером, называется локальным. Он заключается в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения в отдельных точках неподвижного пространства, занятого движущейся жидкостью. Этот метод, в силу своей простоты, получил более широкое распространение, и будет использоваться в последующем изложении.
Для идеальной сжимаемой жидкости или газа (в такой среде вектор напряжений на любой площадке ортогонален этой площадке и по величине не зависит от её ориентации) из фундаментальных законов механики сплошных сред - закона сохранения количества движения и закона сохранения массы - следуют уравнения движения
. (2.1)
Эти уравнения впервые были получены Эйлером (1775 г.). Простейшим ограничением движения жидкости является закон сохранения массы, на основании которого можно получить уравнения неразрывности
, (2.2)
где ? - плотность среды; V - вектор скорости частичек жидкости (газа); Vx, Vy, Vz - компоненты вектора скорости (x, y, z - декартовы координаты); р - давление; F - вектор массовых сил.
Зависимости (2.1), (2.2) необходимо дополнить уравнением состояния и уравнением энергии. Учитывая, что переходные процессы протекают с высокими скоростями (если пренебречь явлением теплообмена), можно считать их адиабатическими, а среду - баротропной. Для таких сред давление является функцией только плотности, и уравнение состояния в общем случае имеет вид
. (2.3)
Уравнения (2.1)-(2.3) составляют систему уравнений гидродинамики. При описании нестационарных волновых процессов широкое распространение получила теория акустического приближения, которая описывает волновые поля малой амплитуды.
Линеаризуем эту систему, ограничиваясь далее исследованием волн малой амплитуды.
Согласно этой модели предполагается, что изменение плотности незначительно по сравнению с плотностью невозмущенного состояния, скорости движения частиц малы по сравнению со скоростью звука и что массовыми силами можно пренебречь.
Представил искомые величины в виде
; ; .
Здесь индексом "0" обозначены соответствующие величины в начальном состоянии и штрихом - возмущения, вносимые акустическими волнами (скорость V0 принята равной нулю). После чего, приняв неравенства
; ,
произведём линеаризацию исходной системы (2.1) - (2.3). В результате получим следующие уравнения
; (2.4)
; (2.5)
(2.6)
где .
В дальнейшем штрихи над функциями p,? и V будут опущены.
Движение среды, описываемое системой (2.4) - (2.6), является потенциальным. Действительно, если умножить (2.4) векторно на V и воспользоваться тем, что операция даёт тождественный нуль, приходим к равенству
Следовательно, ??V=const (?=grad), так как в начальный момент времени вихри отсутствовали, то ??V = 0 и в последующие моменты времени. Для потенциальных движений существует функция ? (волновой потенциал или потенциал скорости), через которую путём дифференцирования могут быть получены составляющие вектора V
V = ??.
После подстановки (2.7) в систему (2.4) - (2.6) получим волновое уравнение относительно потенциала скорости
где ? - оператор Лапласа, и зависимость между давлением р и потенциалом ?
(2.9)
Отметим, что величины р,V,? также удовлетворяют волновому уравнению (2.8).
В результате определение характеристик возмущённого движения акустических сред сводится к решению уравнения (2.8), после чего могут быть найдены физические величины: поле скоростей, давление (см. формулы (2.7), (2.9)) и т.д. Свойства таких сред описываются двумя постоянными: плотностью ?0 и скоростью распространения звука с.
В зависимости от конфигурации объектов, входящих в гидроупругие системы, при решении конкретных задач могут использоваться различные пространственные переменные. Наиболее распространённые системы - прямоугольные декартовы, круговые цилиндрические и сферические координатные системы. Поскольку наша задача решается с применением сферической системы координат, то дифференциальные операторы ? и ? в сферической системе координат r, ?, ? имеют следующий вид
; (2.10)
(2.11)
где er, e? , e? обозначены соответствующие орты.
Принятые допущения ограничивают диапазон применения акустической модели. В работе [17] на примере одномерного течения показано, что возникающая при этом погрешность составляет менее 5 % в окрестности фронта волны, если амплитуда давления в возмущенном потоке для воды не превышает 1,1?108 Н/м2.
Некоторые другие рекомендации, связанные с оценкой акустического приближения, даются в работах [10, 18, 19, 22].
2.2. Основные соотношения теории электроупругости и теории тонких электроупругих оболочек
К электроупругим (пьезоэлектрическим) относятся материалы, в которых проявляется связанность механического и электрического полей. Суть этого явления состоит в том, что при силовом напряжении на поверхностях изделий, изготовленных из пьезокерамических материалов,появляются электрические заряды (прямой пьезоэффект) и, наоборот, в электрическом поле такие изделия изменяют свои геометрические размеры (обратный пьезоэффект). Эффект связанности механического и электрического полей положен в основу создания преобра