Вы здесь

Підвищення ефективності електромеханічних ультразвукових концентраторів на основі методу симетрій

Автор: 
Трапезон Кирило Олександрович
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2008
Артикул:
0408U005465
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2
ЗАГАЛЬНА МЕТОДИКА ТА ТЕОРЕТИЧНІ МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ АКУСТИЧНИХ
КОНЦЕНТРАТОРІВ
2.1. Розробка методу симетрій для задачі про поздовжні коливання концентраторів
як стержнів змінного перерізу
2.1.1. Постановка задачі
При розробці та проектуванні нових профілів концентраторів акустичної енергії,
насамперед з позицій подальшого дослідження та вдосконалення їх основних
експлуатаційних характеристик треба мати детальний опис математичної моделі
цього пружного тіла. В режимі власних коливань при розгляді стержня змінного
перерізу з поперечними розмірами достатньо малими у порівнянні з його довжиною
[2] та з вільними кінцями така модель, як відомо з положень фізичної акустики,
описується за допомогою наступного диференціального рівняння форм коливань
,
яке вивпливає з відомого хвильового рівняння [33,72,92] після відокремлення
часового множника за методом Фур’є. Це рівняння можна записати у вигляді
, (2.1)
де
переміщення будь-якого перерізу стержня при коливаннях;
площа поперечного перерізу стержня;
діаметр поперечного перерізу у випадку стержня як тіла обертання;
власне значення крайової задачі;
кругова власна частота коливань стержня,
циклічна лінійна частота коливань стержня;
швидкість розповсюдження поздовжньої хвилі в стержні,
модуль пружності, щільність матеріалу стержня;
довжина стержня. Штрихи визначають похідні по змінній , яка віднесена до
довжини стержня .
Як видно зі структури рівняння (2.1), до нього входить функція , за видом якої
і визначається профіль концентратора. Принцип ефективного функціонування
концентратора як стержня змінного перерізу полягає в такому виборі цієї
функції, при якому можливо отримати максимальне підсилення поздовжніх коливань
і водночас забезпечити довготривале неперервне функціонування спроектованого
концентратора в складі того чи іншого ультразвукового пристрою.
Як відзначалось раніше при аналізі сучасних літературних джерел, розв’язок
рівняння (2.1), що разом з граничними умовами складає крайову задачу, відомий
лише для досить обмеженого класу елементарних функцій . Використання ж
чисельних методів при пошуку нових профілів, як показує досвід, не дає нічого
принципово нового для практики.
В даній частині дисертаційного дослідження пропонується розглянути метод, який
дозволяє знайти замкнутий розв’язок крайової задачі при достатньо широкому
наборі функцій . Цей метод є уособленням теоретико-групового підходу до
розв’язання диференціальних рівнянь і відноситься до класу методів групового
аналізу.
Враховуючи вище сказане, постановка задачі в математичному аспекті поставленої
проблеми полягає у розробці методу побудови симетрій рівняння (2.1), який би
дозволив провести дослідження щодо пошуку та відповідної раціоналізації
профілів концентраторів акустичної енергії за основними їх технічними
показниками. У доповнення до цього треба визначити алгоритм реалізації
названого методу при аналізі стержнів змінного перерізу та вказати головні
обмеження і вимоги, які слід враховувати при його використанні.
2.1.2. Теорія та математичний апарат методу

Для визначення симетрії рівняння (2.1) розглянемо систему двох диференціальних
рівнянь першого порядку для деяких функцій та (далі в роботі задля спрощення
запису співвідношень аргумент функції будемо опускати) [3]
; (2.2)
, (2.3)
де
деякі змінні коефіцієнти.
З співвідношень (2.2) та (2.3) можна отримати
(2.4)
. (2.5)
Після диференціювання по “” співвідношень (2.4) і (2.5) та внесення у та
виразів функцій (2.4) та (2.5) приходимо до двох диференціальних рівнянь
другого порядку відносно функцій та
; (2.6)
. (2.7)
Якщо рівнянню (2.6) поставити у відповідність рівняння (2.1) стержня змінного
перерізу, то відповідно до визначеного поняття симетрії рівняння (2.7) як
симетрія рівняння (2.1) повинно мати аналогічну форму, тобто
, (2.8)
Відповідно до цього запровадимо систему позначень, що одночасно буде системою
диференціальних рівнянь відносно шуканих параметрів тобто [3]
(2.9)
де змінні діаметра поперечного перерізу; відповідні власні числа.
Останнє співвідношення системи (2.9) дозволяє нам знайти змінний параметр
. (2.10)
Знайдемо похідну по “” від змінного параметра
Розділимо на , після чого отримаємо
. (2.11)
Використовуючи третє рівняння системи (2.9), визначимо зв’язок між змінними
коефіцієнтами
або
тоді використовуючи відоме співвідношення
підставимо
тобто
Візьмемо інтеграл від обох частин виразу:
де
стала, що визначається інтегруванням.
Таким чином, зв’язок між змінними коефіцієнтами та має вигляд [3]
. (2.12)
Далі підставимо співвідношення (2.10)-(2.11) у вирази (2.6) та (2.7):
І знову, виходячи з пошуку симетрії можна записати аналогії
, (2.13)
з яких випливає рівняння
далі підставимо в цей вираз співвідношення (2.11)

Візьмемо інтеграл від лівої та правої частин рівняння
тобто
або
Перейдемо тепер до першого рівняння системи (2.13)
звідки
Підставимо в це співвідношення вираз (2.12)
або
Введемо позначення [3]
тоді
або
Але оскільки
значить можемо записати, що
. (2.14)
Запровадимо нові позначення
тоді
а похідна має вигляд
Таким чином, одержимо відношення
. (2.15)
З врахуванням введеного позначення запишемо [3]
Зупинимось на виразі (2.14), для якого можемо записати
тоді враховуючи співвідношення (2.15) можемо записати рівнянн