РОЗДІЛ 2
ГРАНИЧНО-ІНТЕГРАЛЬНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ ПРО ЛОКАЛЬНЕ ПРОКОВЗУВАННЯ
В даному розділі здійснено гранично-інтегральне формулювання контактних задач
про локальне проковзування тіл з поверхневими неоднорідностями за їх
послідовного навантаження.
Під послідовним навантаженням розумітимемо наступний процес – спершу тіла
притискаються одне до одного стискальними зусиллями, а потім до тіл на
нескінченності прикладаються монотонно зростаючі зсувні зусилля.
Розроблено методику розв’язання цих задач, що базується на використанні методу
комплексних потенціалів та сингулярних інтегральних рівнянь. Вона передбачає:
* подання напружень, переміщень та температури в тілах через визначені на
локалізованих ділянках поверхні спряження функції, що мають прямий фізичний
зміст – функції висоти міжповерхневого просвіту, відносного зсуву поверхонь на
зазорі і ділянках проковзування та перепаду температури між берегами просвіту;
* зведення задач до сингулярних інтегральних рівнянь відносно цих функцій;
* формулювання додаткових умов для визначення ділянок зазорів та ділянок
проковзування.
Записано умови для знаходження діапазону стискальних зусиль, при якому повністю
сконтактують поверхні обох тіл, та діапазону, при якому між поверхнями тіл буде
зазор.
Визначено критичне значення зсувних зусиль, при перевищенні якого розпочнеться
проковзування за повного налягання поверхонь.
Результати розділу опубліковано в працях [58, 60–62, 64, 65, 74–78, 88].
2.1. Основні співвідношення теорії пружності у випадку плоскої деформації
Запишемо основні рівняння та співвідношення теорії пружності для ізотропних тіл
за умов плоскої деформації.
Розглянемо довге циліндричне тіло, віднесене до декартової системи координат ,
твірна поверхні якого паралельна осі . Прикладені до поверхні навантаження є
перпендикулярними до твірної та не залежать від координати (тобто,
перпендикулярні до ). Якщо компонента переміщення в напрямку осі рівна нулю, а
компоненти переміщень в напрямках осей та не залежать від координати , тоді в
такому тілі реалізується стан плоскої деформації. У випадку плоскої задачі
теорії пружності напружено-деформований стан тіла визначається трьома
компонентами тензора напружень (, , ) та трьома компонентами тензора деформацій
(, , ), які є функціями двох змінних ().
Рівняння рівноваги за умов плоскої деформації, коли об’ємні сили відсутні,
мають вигляд [105]
, . (2.1)
Компоненти тензора деформацій зв’язані з компонентами вектора переміщень
співвідношеннями Коші [105]
, , .
Тут – компонента вектора переміщень точок тіла в напрямку осі , а – компонента
вектора переміщень точок тіла в напрямку осі . Компоненти тензора деформацій (,
, ) повинні задовольняти умову сумісності деформацій [105]
. (2.2)
Компоненти тензора напружень та тензора деформацій зв’язані між собою законом
Гука, який для пружного ізотропного тіла запишеться [105]
, , ,
або
,
,
, (2.3)
де – об’ємне розширення, – коефіцієнт Ляме, – модуль Юнга, – коефіцієнт
Пуассона, – модуль зсуву.
Якщо в рівняння сумісності (2.2) підставити вирази (2.3), то одержимо рівняння
, (2.4)
де – оператор Лапласа.
Рівняння (2.1) і (2.4) утворюють систему трьох рівнянь для визначення трьох
компонент тензора напружень , , .
Отже, плоска задача теорії пружності за відсутності об’ємних сил зводиться до
інтегрування системи рівнянь (2.1), (2.4).
Якщо компоненти тензора напружень виразити через функцію напружень Ері [96]
, , ,
то рівняння рівноваги (2.1) будуть задоволені, а рівняння сумісності деформацій
в напруженнях (2.2) трансформується в рівняння
,
з якого випливає, що функція напружень Ері – бігармонічна. Використовуючи
подання Гурса бігармонічної функції через дві аналітичні функції, напруження та
переміщення можна виразити через комплексні потенціали Колосова-Мусхелішвілі ,
, що є аналітичними функціями комплексної змінної [96]
,
,
,
де стала Мусхелішвілі у разі плоскої деформації рівна .
Якщо пружне тіло є півплощиною (наприклад, нижньою), то його
напружено-деформований стан можна подати через один комплексний потенціал,
довизначивши функцію у верхній півплощині так, щоб вона була аналітичним
продовженням функції у нижній півплощині через незавантажені ділянки границі
[96, 120]. Тоді напруження і похідні від переміщень записуються через одну
функцію, що є кусково-голоморфною у всій площині, у вигляді
,
,
. (2.5)
2.2. Послідовне навантаження. Неповний контакт тіл
Розглянемо два пружні тіла, матеріали яких ізотропні і характеризуються
однаковими механічними властивостями. Між ними відбувається контактна взаємодія
в умовах плоскої деформації. Тіла вступають в контакт вздовж границь, які мають
незначні локальні відхилення від площин. Припускаємо, що до деформації, як це
показано на рис. 2.1, поверхня верхнього тіла є плоскою, а нижнє тіло на смузі
шириною вздовж всієї границі має плитку, пологу, гладку, циліндричну виїмку та
змінний, залежний від координати коефіцієнт тертя , що заданий додатною
функцією (де , – деяка гладка, парна, неперевно-диференційована функція така,
що , а її мінімум досягається в центрі виїмки при ). Поза цією смугою поверхня
нижнього тіла плоска, а коефіцієнт тертя є сталим (саме цю сталу величину
надалі називатимемо фоновим коефіцієнтом тертя. Форму виїмки описує
неперервно-диференційована функція .
Плиткість заглибини означає, що відношення максимальної висоти виїмки до її
ширини є малою величиною (). Пологість виїмки свідчить про те, що кути нахилу
нерівностей рельєфу є малими (). А гладкість виїмки означає відсутність кутових
точок на її краях, тобто плавний перехід виїмки в пряму (, ).
Припущення, що ширина виїмки є малою порівняно
- Київ+380960830922