РОЗДІЛ 2
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ РІВНЯННЯ
ГЕЛЬМГОЛЬЦА МЕТОДОМ НОРМАЛЬНИХ МОД
Метод нормальних мод дозволяє моделювати процеси поширення акустичних хвиль у
нескінченному неоднорідному хвилеводі, параметри якого припускають розділення
змінних. У розділі метод нормальних мод узагальнюється на випадок
осесиметричних неоднорідних хвилеводів із імпедансною межею.
2.1. Моделювання акустичного поля у неоднорідному осесиметричному хвилеводі з
поглинанням
Нехай - декартові координати із віссю , направленою вертикально вниз.
Розглянемо задачу моделювання акустичного поля точкового гармонічного джерела
(залежність від часу ) у хвилеводі, що представляє шар
з абсолютно м’якою верхньою межею , імпедансною нижньою межею та
неперервно-диференційованою швидкістю звука . Згідно з попереднім розділом,
акустичне поле задовольняє хвильове рівняння Гельмгольца
де ? акустичний тиск, ? одновимірна дельта-функція Дірака, ? координати
точкового джерела, . З урахуванням геометрії хвилеводу, від декартових
координат доцільно перейти до циліндричних координат , в яких дельта-функція
визначається формулою
а оператор Лапласа набуває вигляду
Тоді, з урахованням азимутальної симетричності, задача визначення акустичного
поля в області зводиться до розв’язання крайової задачі для рівняння
Гельмгольца:
, , (2.1)
, (2.2)
. (2.3)
Тут , – хвильове число, – частота, – деяке значення швидкості звука, ?
коефіцієнт заломлення, ? уявна одиниця, ? коефіцієнт поглинання
(неперервно-диференційована функція), ? комплексний параметр, , . Крім того,
для єдиності розв’язку задачі (2.1)?(2.3) припускається виконання відповідних
умов випромінювання на нескінченності у вигляді умов граничного поглинання
(1.13) при або парціальних умов Свєшнікова при .
Зауважимо, що комплексні коефіцієнти та дозволяють врахувати поглинання
акустичної енергії у водному шарі та на межі поділу вода-дно.
Отримаємо розв’язок крайової задачі (2.1)–(2.3), слідуючи [9], методом
розділення змінних. Для цього спочатку розглянемо однорідне рівняння
Гельмгольца
, (2.4)
частинні розв’язки якого будемо шукати у вигляді
. (2.5)
Підставивши вираз (2.5) у (2.4) та розділяючи змінні із константою , отримаємо
рівняння для :
. (2.6)
Враховуючи крайові умови (2.2), (2.3), для функції маємо хвилеводну задачу
Штурма ? Ліувілля
, (2.7)
, (2.8)
, (2.9)
Для дослідження спектральної задачі (2.7)?(2.9) розглянемо гільбертовий простір
комплексних функцій, інтегрованих з квадратом на зі скалярним добутком та
нормою
, ,
де риска означає комплексне спряження.
Нехай
? оператор, визначений на множині функцій , що задовольняють граничні умови
(2.8), (2.9). Тоді спектральну задачу (2.7)?(2.9) можна записати в операторному
вигляді
де ? область визначення оператора . Проінтегрувавши частинами та врахувавши
граничні умови (2.8), (2.9), одержимо
, ,
де оператор має вигляд
Отже, оператор ? самоспряжений у разі та , і стає несамоспряженим, якщо хоча б
одна з цих умов не виконується.
Відомо [110], що задача (2.7)-(2.9) має зліченну множину простих власних
значень з єдиною граничною точкою на нескінченності. При цьому, якщо та є
дійсними, усі власні значення також є дійсними та можуть бути впорядковані
, (2.10)
а відповідні власні функції дійсні та утворюють повну ортогональну систему у .
Покажемо, що за умов , , власні значення задачі (2.7)-(2.9) є комплексними,
причому , а відповідні власні функції утворюють біортогональну систему з
комплексно-спряженими функціями , тобто для них виконуються співвідношення
(2.11)
де ? деяка комплексна величина.
Дійсно, інтегруючи частинами з урахуванням граничних умов (2.8), (2.9), маємо
. (2.12)
Відокремлюючи дійсну та уявну частину (2.12), одержимо
, (2.13)
. (2.14)
Оскільки , а , то з (2.13), (2.14) випливає, що при , для власних значень
задачі (2.7)?(2.9) справедливі нерівності
, (2.15)
. (2.16)
Далі будемо вважати, що усі величини належать першому квадранту комплексної
площини, тобто , . Для цього значення слід вибирати у вигляді
Доведемо тепер біортогональність системи власних функцій задачі (2.7)-(2.9).
Нехай ? два власних значення, а ? відповідні власні функції, тобто
. (2.17)
Інтегруючи частинами та враховуючи граничні умови (2.8), (2.9), легко
переконатись, що
Тому, приймаючи до уваги (2.17), маємо співвідношення
звідки випливає властивість (2.11).
Побудуємо тепер розв’язок однорідного рівняння (2.4). Розглянемо рівяння
(2.6), загальний розв’язок якого має вигляд
де - функції Ханкеля нульового порядку відповідно першого та другого роду, -
деякі константи, які визначимо за допомогою умов на нескінченності. У разі
маємо умову обмеженості розв’язку на нескінченності
при , (2.18)
а для виконуються парціальні умови Свєшнікова
при , , (2.19)
де – коефіцієнти розвинення розв’язку у ряд Фур’є за системою власних функцій
.
Враховуючи нерівність (2.16) та асимптотичне представлення функцій Ханкеля
при
, (2.20)
легко перевірити, що умовам (2.18), (2.19) задовольняє лише . Таким чином,
частковий розв’язок рівняння (2.6) із крайовими умовами (2.2), (2.3) та умовами
на нескінченності має вигляд
Для побудови розв’язку кр
- Київ+380960830922