РАЗДЕЛ 2
УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИЗГИБНО-ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ С УЧЕТОМ ДЕПЛАНАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
2.1. Кинетическая и потенциальная энергии изгибно-изгибно-крутильных колебаний стержней
Результаты, полученные в этом разделе, опубликованы в работе автора [3].
Рассмотрим стержень произвольного поперечного сечения, который вращается с постоянной угловой скоростью ? (рис. 2.1). Для описания движения стержня введем неподвижную систему координат с единичными ортами . Упругие перемещения вдоль осей обозначим соответственно через . Для описания положений точек стержня при колебаниях введем подвижную систему координат с единичными ортами . Начало этой системы находится в центре тяжести поперечного сечения. Оси и являются главными центральными осями.
Рис 2.1. Стержень произвольного поперечного сечения
Рис 2.2. Поперечное сечение стержня
Так как предполагается, что стержень имеет произвольное поперечное сечение, то центр тяжести и центр изгиба находятся в разных точках (рис. 2.2). В сечении стержня вводится система координат . Показанное сечение перпендикулярно нейтральной линии стержня. Центр тяжести поперечного сечения О в системе координат определяется координатами . Кручение поперечного сечения стержня на угол происходит вокруг центра изгиба (рис. 2.3). В результате кручения точка О перемещается в точку с координатами .
Рис. 2.3. Поворот поперечного сечения
Параметры a и b определяются так:
(2.1)
Если депланация поперечного сечения не учитывается, то исследование колебаний стержня сводится к анализу движений его поперечного сечения. Потом к движению прямоугольного поперечного сечения добавим перемещение точек сечения от депланации. Для исследования движения поперечного сечения введем три последовательных угла поворота , которые показаны на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Последовательность поворотов поперечного сечения
Рассмотрим схему поворотов системы координат (рис. 2.4), в результате которой перейдем от к системе . Сначала выполним поворот на угол вокруг оси . Тогда система координат преобразуется в систему . Далее система преобразуется в благодаря повороту на угол вокруг оси . Эти повороты происходят относительно осей, пересекающихся в центре тяжести поперечного сечения. Углы и определим следующими соотношениями [78]:
; . (2.2)
Третий угол описывает крутильные колебания стержня. Этот поворот происходит вокруг центра изгиба поперечного сечения. Для моделирования кручения повернем единичные орты на угол . Тогда система координат преобразуется в систему .
Запишем далее соотношения для углов , которые связывают эти углы с перемещениями стержня:
(2.3)
где .
Составим соотношения перехода от системы координат к системе :
(2.4)
Из (2.4) следует:
(2.5)
Положение произвольной точки Р стержня до деформирования (рис. 2.1) описывается радиус-вектором :
. (2.6)
После деформирования стержня, вследствие колебаний, точка Р займет некоторое положение Р*, которое определяется следующим радиус-вектором:
, (2.7)
где - функция кручения стержня, которая будет определяться дальше. Последнее слагаемое в (2.7) описывает депланацию поперечного сечения.
Для упрощения дальнейших преобразований вводится так называемая схема порядка, которая все перемещения и параметры стержня связывает с одним малым параметром . Эту схему впервые предложили E. Dowell и D. Hodges [88] для упрощения моделирования нелинейных колебаний. Эта схема выражается следующими соотношениями:
(2.8)
Используя схему порядка, выражения (2.1) представим так:
Коэффициент в (2.7) имеет вид: . Используя соотношения (2.3), преобразуем к такому виду:
Далее получим: .
Представим соотношение (2.7) в таком виде: . Далее, учитывая (2.7) и (2.5), получим:
Выпишем коэффициенты при и получим:
После ряда преобразований, получим окончательно:
(2.9)
Напомним, что стержень вращается вокруг оси z с постоянной угловой скоростью ?. Определим вектор абсолютной скорости. Для этого воспользуемся формулой Бура:
где производная по времени в подвижной системе координат.
Раскрывая определитель, получим:
. (2.10)
Кинетическую энергию системы представим так:
где L - длина стержня, А - поперечное сечение стержня.
Вариацию кинетической энергии запишем так:
Формулу (2.10) преобразуем к виду:
Далее запишем вариацию вектора абсолютной скорости:
После преобразований, получим:
Для дальнейшего вывода уравнений движения стержня воспользуемся принципом Остроградского- Гамильтона:
, (2.11)
где - виртуальная работа неконсервативных сил:
Далее получим:
(2.12)
Выразим через u, v, w. Из второй и третьей формулы (2.9) получим:
(2.13)
Тогда после преобразований соотношение для примет следующий вид:
Для вывода формул для кинетической энергии системы понадобятся первые и вторые производные от величин . С учетом (2.13) получим:
Вариации величин (2.9) имеют вид:
Представим интеграл от вариации кинетической энергии в следующем виде:
(2.14)
Подставим полученные соотношения для первых и вторых производных, а также вариаций в выражение (2.12). Проведем тождественные преобразования и выпишем коэффициенты при соответствующих вариациях. В результате получим:
(2.15)
Вычислим в соотношении (2.14) двойной интеграл по всей площади поперечного сечения стержня. Тогда получим:
(2.16)
где - масса единицы длины стержня;
Тогда интеграл от вариации кинетической энергии может быть представлен так:
К слагаемым применим операцию интегрирования по час