Ви є тут

Критерії та загальні причини виникнення нестійкостей стаціонарних станів, що зумовлюють їх множинність та осциляції в електрохімічних системах

Автор: 
Ткачук Михайло Михайлович
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2008
Артикул:
0408U004886
129 грн
Додати в кошик

Вміст

Глава 2. Математичний апарат, що використовується при дослідженні систем,
здатних до самоузгоджуючої поведінки.
Динамічна система визначається як система функцій стану, які змінюються з
часом. Їх часова еволюція моделюється диференціальними рівняннями, які
випливають із фізичних законів, що описують систему.
Деякі із найбільш важливих концепцій теорії нелінійної динаміки можуть бути
отримані при розгляді динамічної системи з двома змінними стану, скажімо Х і Y
[1-5, 48-63].
Нехай динамічна система описується наступною системою диференціальних рівнянь
(СДР):
, (2.1)
де м=(м1, м2, … , мk) – ряд параметрів, які включають змінні величини, що діють
на систему (прикладена зовнішня напруга, швидкість подачі речовини в реактор,
температура, тиск системи, тощо). Якщо час не входить явно до функцій f i g, то
СДР називається автономною.
Багато інформації про поведінку системи, яка описується СДР (2.1), дає аналіз
її стаціонарних розв’язків, які знаходяться з умови f =g=0. Помітимо, що
оскільки функції f i g в загальному випадку є нелінійними, виникає можливість
множинних розв’язків стаціонарних станів: при одних і тих же значеннях
параметрів м для (2.1) існує декілька (ряд) різних розв’язків стаціонарних
станів XSS і YSS. Зважаючи на те, що фізична система може знаходитись тільки в
одному стані на певний момент часу, то виникає важливе питання: який стан
реалізується перш за все, якщо система при заданих умовах може мати декілька
стаціонарних станів?
Можливість реалізації того чи іншого стаціонарного стану (у випадку множинності
стаціонарних станів) залежить від вихідних умов системи і стійкості
стаціонарного стану. Справді, поставлена задача має вже не математичну, а
фізичну природу. Відповідь дає фізичний закон, згідно якого в системі
обов’язково повинні існувати флуктуації (відхилення фізичної величини від
середнього значення). Немає фізичної величини, що б не мала флуктуацій, які
виникають, наприклад, за рахунок квантових ефектів або зовнішніх збурень. В
кінцевому рахунку реалізується саме той стан, який стійкий до обов’язкових
флуктуацій. Якщо в системі існує декілька стійких до флуктуацій стаціонарних
станів, то вибір стаціонарного стану визначається початковими умовами.
Стійкість стаціонарного стану вивчається за допомогою лінійної теорії
стійкості.
2.1. Лінійна теорія стійкості. Характеристичне рівняння
Лінійна теорія стійкості вивчає часову еволюцію системи після малих збурень х і
y зі стаціонарного стану XSS і YSS, тобто фізичні величини X і Y задаються у
вигляді: X= XSS+х, Y= YSS+y. Якщо збурення х і y істотно малі, то функції f i g
можуть бути апроксимовані розкладом в ряд Тейлора і із (2.1) отримаємо в
лінійному наближенні:
або , (2.2)
де коефіцієнти матриці J (Якобіану СДР (2.1)) обчислюються в стаціонарному
стані наступним чином:
; ; ; .
Завдяки лінійності СДР (2.2) допускає розв’язки виду: , , які називаються
нормальними модами.
При підстановці цих виразів у рівняння (2.2), одержується однорідна система
лінійних рівнянь відносно коефіцієнтів х0 і у0. Нетривіальні (ненульові)
розв’язки такої системи існують при виконанні умови
, (2.3)
, (2.4)
де , є відповідно слідом і визначником Якобіана J. Вираз (2.4) відомий під
назвою характеристичного рівняння.
В загальному випадку система (2.1) допускає два різних розв’язки і (власні
значення матриці Якобі). Тому розв’язок СДР (2.2) має наступний вигляд:
; (2.5)
де С1 і С2 визначаються початковими умовами, а k1 i k2, що називаються іноді
коефіцієнтами розподілу, є коренями рівняння:
Із цих виразів випливають наступні критерії стійкості:
якщо обидва корені мають від’ємну дійсну частину, Re(щi)<0 (i=1, 2), то
стаціонарний стан (XSS, YSS) – асимптотично стійкий;
якщо хоча б один корінь має позитивну дійсну частину, Re(щk)>0 (k=1 або 2),
стаціонарний стан (XSS, YSS) нестійкий;
якщо хоча б один з коренів має нульову дійсну частину Re(щk)=0 (k=1 або 2), в
той же час, як дійсна частина іншого кореня залишається від’ємною, то така
система стійка за Ляпуновим, але не є асимптотично стійкою. В цьому випадку
говорять про нейтральну стійкість.
Отже, якщо вигляд рівнянь (2.3, 2.4) відомий, тобто якщо залежність і від
параметрів м визначена, то легко з’ясувати, яка з цих можливостей реалізується
в дійсності. Крім того, з допомогою рівнянь (2.5) можна з’ясувати, яким чином
збурена система повертається або віддаляється від стаціонарного стану; різні
типи поведінки перераховані нижче.
2.2 Класифікація особливих точок. Прості стаціонарні стани.
Обидва корені дійсні: .
Якщо при цьому , то обидва корені щi мають однаковий знак. З рівнянь (2.5)
випливає, що цей випадок відповідає монотонному наближенню до особливої точки,
або монотонному віддаленню від неї (відмітимо, що на кінцевому інтервалі часу
поведінка системи може бути всеж-таки не монотонною. Така ситуація може
виникнути при протилежних знаках С1 і С2, або k1 i k2). В цьому випадку
говорять про стійкий чи нестійкий вузол:
стійкий режим вузлового типу: в системі має місце аперіодичний затухаючий рух,
внаслідок якого вона наближається до положення рівноваги (рис. 2.1, а);
нестійкий режим вузлового типу: система віддаляється від положення рівноваги за
рахунок аперіодичного самозбуджуючого руху (рис. 2.1, б), який при відомих
умовах веде до граничного циклу;
Якщо , то обидва (дійсних) корені щi і мають протилежні знаки. Із рівняння
(2.5) випливає, що
, .
Вважаючи, що і , для відповідних траєкторій одержуємо наступне рівняння:
Ці гіперболічні криві мають дві асимптоти, які проходять через особливу точку,
що називається сідловою. Асимптоти відповідають особливому вибору поч