РАЗДЕЛ 2
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТРЕХСОСТАВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
2.1. Геометрические объекты, присоединённые к трехсоставному распределению
2.1.1. Задание трёхсоставного распределения в репере первого порядка.
Рассмотрим (n+1)-мерное аффинное пространство An+1, отнесенное к подвижному
реперу . Дифференциальные уравнения инфинитезимальных перемещений репера R
имеют вид:
где - инвариантные формы аффинной группы, удовлетворяющие уравнениям структуры:
а индексы на протяжении изложения разделов 2 и 3 принимают следующие
значения:
Структурные формы текущей точки пространства An+1 имеют следующий вид:
Совмещение текущей точки X с точкой репера А ведет к соотношению:
Условие неподвижности точки А записывается так: .
Выбранный таким образом репер назовем репером .
Пусть Пr – r-мерная плоскость An+1, заданная следующим образом:
где .
В репере структурные формы многообразия r-мерных плоскостей Пr имеют следующий
вид:
где
Условие стационарной плоскости Пr определяется равенством:
Аналогично пусть m-мерная плоскость Пm задана следующим образом:
где .
В репере структурные формы многообразия m-мерных плоскостей Пm имеют следующий
вид:
где
Структурные формы многообразия гиперплоскостей , где
запишутся в репере следующим образом:
где
Определение. (n+1)-мерные многообразия в пространствах представления , , ,
определяемые дифференциальными уравнениями
(2.1)
называются распределениями 1-го рода соответственно: r-мерных линейных
элементов (L-распределение), m-мерных линейных элементов (М-распределение) и
гиперплоскостей (Н-распределение) (рис. 1). Уравнения системы (2.1) каждой
точке A (центру распределения) ставят в соответствие плоскости Пr, Пm, Пn.
Будем считать, что многообразия (2.1) являются распределениями касательных
элементов: центр A принадлежит плоскостям Пr, Пm, Пn.
Потребуем, чтобы в некоторой области пространства Аn+1 для любого центра A
имело место соотношение:
A О Пr М Пm М Пn.
Определение. Тройку распределений (2.1) (L-распределение, М-распределение,
Н-распределение) с отношением инцидентности
A О Пr М Пm М Пn.
(2.2)
их соответствующих элементов назовем аффинным трехсоставным гиперполосным
распределением ранга r или H(M(L))-распределением аффинного пространства Аn+1,
в котором L-распределение назовем базисным, а М-распределение и Н-распределение
– оснащающими распределениями.
Требование (2.2) равносильно соотношениям:
которые приводят к следующим связям:
(2.3)
Дифференцируя равенства (2.3) с учетом дифференциальных уравнений (2.1),
получим:
(2.4)
Произведем следующую канонизацию репера : векторы поместим в плоскость Пr,
векторы - в плоскость Пm, а векторы - в плоскость Пn (рис. 2). Такой репер
назовем репером нулевого порядка R0. Его определение ведет за собой следующие
равенства:
В силу этих равенств канонизированные структурные формы имеют вид:
а соотношения (2.4) видоизменяются следующим образом:
где в частности
В репере R0 система (2.1) имеет вид:
(2.5)
Дифференцируя внешним образом соотношения (2.5), получим следующий результат:
где
(2.6)
Заметим, что величины образуют тензор.
Анализируя дифференциальные уравнения
приходим к выводу о том, что для распределения H(M(L)) согласно лемме Остиану
Н. М. [111] возможна частичная канонизация репера нулевого порядка R0, при
которой Полученный репер назовем репером первого порядка R1.
В выбранном репере R1 многообразие H(M(L)) задается следующей системой
дифференциальных уравнений:
(2.7)
Продолжая дифференциальные уравнения (2.7), получим:
(2.8)
Система дифференциальных уравнений (2.8) представляет собой систему
дифференциальных уравнений фундаментального объекта 2-го порядка. Из системы
дифференциальных уравнений (2.8) следует, что компоненты образуют
самостоятельные объекты, которые называются фундаментальными подобъектами
объекта второго порядка распределения H(M(L)) (в общем случае эти объекты
несимметричные).
2.1.2. Некоторые поля инвариантных геометрических объектов, присоединенных к
распределению H(M(L)). Получим дифференциальные уравнения некоторых
геометрических объектов в репере R1, которые будут использоваться в
дальнейшем.
2.1.2.1. Поле точек, присоединенных к распределению Н(М(L)). Рассмотрим точку
(2.9)
где Р и А - радиус-векторы точек Р и А соответственно, а xI – координаты точки
Р относительно репера, присоединенного к распределению H(M(L)).
Потребуем, чтобы в каждой точке А распределения H(M(L)), т. е. при wI=0, при
допустимых преобразованиях репера точка Р оставалась неподвижной. Это условие
приводит к равенству:
dР=0,
(2.10)
где d - символ дифференцирования по вторичным параметрам. Дифференцируя
равенство (2.9), в силу уравнения (2.10) получим:
где . Следовательно, инвариантное поле точек будет удовлетворять уравнениям:
2.1.2.2. Поле прямых, присоединенных к распределению Н(М(L)). Пусть через
текущую точку А проходит прямая, определенная вектором:
Условие инвариантности этого направления относительно допустимых преобразований
репера
приводит к следующим равенствам
(2.11)
2.1.2.2.1. Если прямая не лежит в плоскости Пn элемента распределения, то
координаты вектора можно прономировать следующим образом:
(2.12)
Тогда соотношения (2.11) примут вид:
Таким образом, поле инвариантных прямых, определенных