РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГІЧНОГО ПІДХОДУ ДО АНАЛІЗУ ДИНАМІКИ ВІБРОЗАХИСНИХ СИСТЕМ ІЗ КОТКОВИМИ ГАСНИКАМИ
2.1. Теоретичне підгрунтя щодо виводу динамічних рівнянь руху віброзахисних систем із котковими гасниками
В основі теоретико-методологічного підходу щодо аналізу динаміки віброзахисних систем із котковими гасниками лежить формалізм Аппеля для механічних систем із кінематичними в'язями [145, 159, 240]. Для виводу рівнянь руху всіх віброзахисних систем, що розглядаються у роботі, використовувався формалізм Аппеля у незалежних узагальнених координатах . У загальному вигляді рівняння лінійних кінематичних в'язей запишеться таким чином:
, () (2.1.1)
- кількість узагальнених координат; - число кінематичних в'язей.
Коефіцієнти в загальному випадку репрезентують функції узагальнених координат та часу.
Розв'яжемо рівняння (2.1.1) відносно залежних узагальнених швидкостей через інші - незалежних швидкостей. В результаті отримаємо систему кінематичних співвідношень:
, () (2.1.2)
З (2.1.2) отримаємо також варіації узагальнених координат:
, () (2.1.3)
Виразимо залежні варіації через - варіацій , які вже будуть незалежними. Подібно до (2.1.2) отримаємо:
, () (2.1.4)
Диференціюванням (2.1.2) знайдемо вирази для залежних узагальнених прискорень через незалежні:
, () (2.1.5)
Запишемо загальний вираз векторів швидкості та прискорення довільної матеріальної точки механічної системи:
, ( ) (2.1.6)
, ( ) (2.1.7)
де - число матеріальних точок; - радіус-вектор матеріальної точки .
Перепишемо вираз (2.1.7) у такому вигляді:
(2.1.8)
де символи позначають доданки, які не залежать від узагальнених прискорень.
Використаємо співвідношення (2.1.5) для виключення () із виразу (2.1.8). В результаті отримаємо:
(2.1.9)
Позначимо вектор у дужках так:
, () (2.1.10)
Тоді вираз (2.1.9) можна подати таким чином:
(2.1.11)
Невиписані доданки від узагальнених прискорень не залежать, тому маємо:
(2.1.12)
Віртуальні переміщення можна представити через незалежні варіації за допомогою лінійних співвідношень з тими ж коефіцієнтами , тобто:
(2.1.13)
Запишемо загальне рівняння динаміки у формі Лагранжа:
(2.1.14)
Застосуємо (2.1.13) до лівої частини (2.1.14):
(2.1.15)
Зауважимо, що
(2.1.16)
де - функція прискорень Аппеля.
В результаті вираз (2.1.15) з урахуванням (2.1.16) перетворюється на такий:
(2.1.17)
При побудові виразу для функції Аппеля було враховано кінематичні в'язі. За допомогою цих в'язей з виразу для виключені залежні узагальнені прискорення .
Перетворимо праву частину рівняння (2.1.14) - вираз елементарної роботи заданих сил:
(2.1.18)
де , ().
Знайдемо вирази для узагальнених сил, які відповідають варіаціям незалежних узагальнених координат. У відповідності із (2.1.9) їх вирази можна записати таким чином:
(2.1.19)
Після цього загальне рівняння динаміки (2.3.14) у формі Лагранжа набуде такого вигляду:
(2.1.20)
Із виразу (2.1.20) через незалежність варіацій узагальнених координат випливають рівняння руху динамічної системи у формі Аппеля:
, () (2.1.21)
Їх число дорівнює числу степеней свободи системи. Вони є диференційними рівняннями ІІ-го порядку відносно незалежних узагальнених координат . У загальному випадку в їх склад входять усі узагальнені координати та швидкості. Разом із рівняннями кінематичних в'язей отримано систему диференційних рівнянь, що містить стільки ж невідомих. Порядок цієї системи дорівнює . У випадку голономних систем рівняння руху у формі Аппеля співпадають із рівняннями Лагранжа ІІ-го роду [30, 145, 159, 240].
2.2. Створення аналітично-числового методу визначення амплітудно-частотних характеристик нелінійних віброзахисних систем із котковими гасниками
Вивід рівнянь руху для кожної із віброзахисних систем за допомогою формалізма Аппеля буде викладено далі по тексту у третьому - п'ятому розділах роботи із зображенням відповідних принципових схем функціонування цих систем. З'ясувалося, що диференційні рівняння, що описують їх рух, якісно мають однаковий вигляд. Їх кількісна відмінність далі буде врахована введенням числових параметрів , що ідентифікують кожну конкретну віброзахисну систему.
Отже, динамічна поведінка віброзахисних систем із котковими гасниками, що розглядаються в даній роботі, у загальному вигляді описується такими (вперше отриманими автором роботи) нелінійними диференційними рівняннями [90, 92, 99, 101,104 - 109, 111 -117, 120]:
(2.2.1)
(2.2.2)
де ; ; ; - параметри, що ідентифікують одну з трьох віброзахисних систем, що розглядаються у роботі; - радіус сферичних виїмок гасників; - маса несучого тіла; - маса робочого тіла; - максимальна амплітуда зовнішнього збудження; ; - радіус кулі.
Для визначення АЧХ досліджуваних систем скористаємось процедурою осереднення Рітца-Гальоркіна [174, 212, 260, 287], адаптованою до досліджуваних у роботі задач. В основі цієї процедури лежить припущення про те, що середнє значення віртуальної роботи за один період при усталених вимушених коливаннях механічної системи дорівнює нулю.
Не звужуючи загальності підходу, будемо вважати, що рух деякої довільної механічної системи описується наступними диференційними рівняннями:
(2.2.3)
Тоді вираз для елементарної роботи на вір
- Київ+380960830922