Раздел 2
Анализ и синтез САУ общего вида с НС при наличии неизмеряемого возмущающего
воздействия
2.1. Системы модального управления с НС полного порядка
Рассмотрим систему модального управления, у которой часть переменных состояния
можно измерить, а часть – нет [174]. В этом случае переменные состояния, не
поддающиеся измерению, можно восстановить при помощи НС, разомкнутая часть
которого представляет собой модель идентифицируемой части объекта
регулирования. При этом модальный регулятор МР замыкается частично по
переменным состояния ОР, а частично – по переменным состояния НС.
Структурная схема (СС) такой системы в пространстве состояний показана на рис.
2.1, где обозначены следующие сигналы:
v – управляющее воздействие;
f – неизмеряемое возмущающее воздействие;
Xo1, o1 – m-мерные вектор состояния объекта, восстанавливаемый наблюдателем, и
его оценка;
Xо2 – r-мерный вектор состояния ОР, не восстанавливаемый наблюдателем;
, – входной сигнал НС и ошибка оценивания им выходного сигнала объекта y1;
– коэффициенты корректирующих связей НС;
– результирующий сигнал обратной связи по оценкам состояний;
Ko1, K2, Kн1 – коэффициенты передачи модального регулятора по векторам
переменных, и o1 соответственно:
, ,
Векторы Ko1, K2 и Kн1 связаны с вектором коэффициентов модального регулятора
СМУ без НС следующими соотношениями:
, (2.1)
где – порядок ОР,
. (2.2)
Очевидно, что вектор Kн1 имеет нулевые элементы в тех позициях, в которых
вектор Kо1 содержит ненулевые элементы, и наоборот.
В общем случае ОР в этой схеме может включать в себя не только объект (в
классическом понимании этого слова), но и регуляторы внутренних контуров с их
обратными связями. Единственным ограничением, накладываемым на структуру
исследуемой системы, является то, что линейная комбинация сигналов обратных
связей по переменным состояния наблюдателя заведена на внешний регулятор.
Предположим, что параметры разомкнутого НС полностью совпадают с
соответствующими параметрами первой части объекта регулирования:
, , , . (2.3)
Запишем дифференциальные уравнения системы в операторной форме:
, (2.4)
, (2.5)
. (2.6)
Вычитая из уравнения (2.4) уравнение (2.6) и обозначая разность между
соответствующими сигналами ОР и НС, называемую ошибкой оценивания, как
, (2.7)
получим
. (2.8)
С учетом (2.7) и (2.2) выражение (2.5) примет вид
. (2.9)
После объединения уравнений (2.4), (2.5) и (2.9) в одну систему имеем
. (2.10)
Для того, чтобы упростить выражение (2.10), выполним математическое описание
СМУ без НС на основании развернутой структурной схемы, представленной на рис.
2.2:
(2.11)
Объединяя уравнения (2.5) и (2.11) в одну систему, получим
. (2.12)
То же самое уравнение без разделения ОР на две части выглядит следующим
образом:
, (2.13)
где
(2.14)
– матрица состояния СМУ, замкнутой по собственным координатам,
(2.15)
– матрица состояния объекта регулирования (разомкнутой системы).
Сопоставляя уравнения (2.13), (2.14) и (2.15), получим:
; ; ; (2.16)
. (2.17)
Объединим две верхние клетки третьего столбца клеточной матрицы состояния
уравнения (2.10):
. (2.18)
Подставляя выражения (2.16)-(2.18) в уравнение (2.10), получаем его в более
простой форме:
, (2.19)
где – матрица состояния замкнутого наблюдателя.
Таким образом, матрица состояния СМУ с НС приводится к треугольной форме
, (2.20)
где – порядок исследуемой системы.
Из (2.20 1) следует, что
. (2.21)
Из этого уравнения вытекает известная теорема разделения, позволяющая при
синтезе СМУ с НС из условия желаемого расположения ее полюсов раздельно
(независимо друг от друга) выполнять синтез регулятора состояния и синтез НС.
Выражение (2.21) подтверждает тот факт, что теорема разделения справедлива для
СМУ с наблюдателем полного порядка, идентифицирующего не только весь объект
регулирования, но и его часть, не зависимо от того, сколько связей регулятора
состояния замкнуто через НС.
На основании уравнения (2.21) иногда делают вывод о том, что СМУ без НС
является более быстродействующей, чем система, замкнутая через наблюдатель,
т.к. характеристический полином СМУ с НС полного порядка Gз(p) равен
произведению характеристических полиномов СМУ без НС (Gоз(p) и НС (Gнз(p))
[175].
Однако это положение справедливо только для собственных (не вынужденных)
движений системы, которые возникают при отклонении некоторой координаты от
равновесного состояния и зависят лишь от расположения полюсов замкнутой
системы.
Поскольку быстродействие и другие показатели качества переходных процессов при
отработке управляющего и возмущающего воздействий зависят не только от полюсов
передаточной функции, но и от ее нулей, определим матричные передаточные
функции исследуемой СМУ от управляющего и возмущающего воздействий до вектора
состояния:
. (2.22)
Из линейной алгебры [176] известно, что элементы матрицы b, обратной по
отношению к некоторой четырехклеточной матрице a
можно определить по формулам:
(2.23)
В частном случае, когда , формулы (2.23) существенно упрощаются:
(2.24)
Воспользовавшись для обращения клеточной матрицы, входящей в выражение (2.22),
формулами (2.24), получим
. (2.25)
После подстановки (2.25) в (2.22) и перемножения матриц имеем
. (2.26)
Из (2.26) видно, что ПФ СМУ с НС от управляющего воздействия до переменных
состояния объекта регулирования Wxv(p) совпадает с соответствующей ПФ СМУ без
НС Wxvo(p) (см. схему рис. 2.3)
, (2.27)
а ошибки оценивания наблюдателем переменных состояния идентифицируемой части
объекта регулирования при отработке управляющего воздействия
- Київ+380960830922